Question

如圖所示，圓心在原點、半徑為R的圓將xOy平面分為兩個區(qū)域，在圓內區(qū)域Ⅰ（r≤R）和圓外區(qū)域Ⅱ（r＞R）分別存在兩個磁場方向均垂直于XOY平面的勻強磁場；垂直于XOY平面放置了兩塊平面熒光屏，其中熒光屏甲平行于X軸放置在Y軸坐標為-2.22R的位置，熒光屏乙平行于Y軸放置在X軸坐標為3.5R的位置。現有一束質量為m、電荷量為q（q＞0）、動能為E₀的粒子從坐標為（-R，0）的A點沿X軸正方向射入區(qū)域Ⅰ，最終打在熒光屏甲上，出現坐標為（0.4R,  -2.2R，）的亮點。若撤去圓外磁場，粒子打在熒光屏甲上，出現坐標為（0，-2.2R）的亮點M。此時，若將熒光屏甲沿Y軸負方向平移，則亮點的X軸坐標始終保持不變。（不計粒子重力影響）

（1）求在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中粒子運動速度v₁、v₂　的大小。
（2）求在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中磁感應強度B₁、B₂的大小和方向。
（3）若上述兩個磁場保持不變，熒光屏仍在初始位置，但從A點沿X軸正方向射入區(qū)域Ⅰ的粒子束改為質量為m、電荷量為-q、動能為3E₀的粒子，求熒光屏上的亮點的位置。

Answer 1

試題分析：（1）由于在磁場中運動時洛侖茲力不做功，所以在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中粒子運動速度大小就是在點入射時初始速度大小，由可得
                 ①             （2分）
（1）粒子在區(qū)域Ⅰ中運動了四分之一圓周后，從點沿軸負方向進入區(qū)域Ⅱ的磁場

如圖所示，圓周運動的圓心是點，半徑為
（1）    ②       （2分）
由可得
            ③     （2分）
方向垂直平面向外。    ④            （1分）
粒子進入區(qū)域Ⅱ后做半徑為的圓周運動，由
可得
                ⑤
圓周運動的圓心坐標為（，），圓周運動軌跡方程為

將點的坐標（，）代入上式，可得
      ⑥             （2分）
利用⑤、⑥式得
  ⑦    （2分）
方向垂直平面向里。         ⑧              （1分）
（3）

如圖所示，粒子先在區(qū)域Ⅰ中做圓周運動。由可知，運動速度為
類似于⑤式，半徑為 ⑨ （2分）
由圓心的坐標（，）可知，與的夾角為。通過分析如圖的幾何關系，粒子從點穿出區(qū)域Ⅰ的速度方向與軸正方向的夾角為⑩   （3分）
粒子進入區(qū)域Ⅱ后做圓周運動的半徑為           （2分）
其圓心的坐標為（，）,即（，），說明圓心恰好在熒光屏乙上。所以，亮點將出現在熒光屏乙上的點，其軸坐標為
            （3分）
點評：根據粒子的坐標，定出圓心，并畫出運動軌道，由幾何關系來確定半徑，從而求出磁感應強度大小及判定其方向．值得注意的是：磁場方向相反時粒子運動圓弧所對應的圓心在一條直線上．