Question

（2010?天津模擬）如圖所示的“s”形玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，放置在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部分是由兩個(gè)半徑相等的半圓對(duì)接而成，圓的半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平方向不可移動(dòng)．彈射裝置將一個(gè)小球（其直徑略小于細(xì)管的內(nèi)徑）從a點(diǎn)水平射出，并從b點(diǎn)進(jìn)入軌道，經(jīng)過(guò)軌道后從最高點(diǎn)d水平拋出（拋出后小球不會(huì)再碰軌道），已知小球與地面ab段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，不計(jì)其它機(jī)械能損失，ab段長(zhǎng)L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小球質(zhì)量m=0.01kg，軌道質(zhì)量為M=0.26kg，g=l0m/s²，求：
（1）若在a點(diǎn)彈射裝置對(duì)小球水平的瞬時(shí)沖量I=0.05N?s，求小球從最高點(diǎn)d拋出后的水平射程．
（2）設(shè)小球進(jìn)入軌道之前，軌道對(duì)地面的壓力大小等于軌道自身的重力，若小球經(jīng)過(guò)兩半圓的對(duì)接處c點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力恰好為零，則小球在a點(diǎn)的速度v₀為多大．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)量定理求出小球的初速度，通過(guò)動(dòng)能定理求出小球運(yùn)動(dòng)到d的速度，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出水平射程．
（2）小球經(jīng)過(guò)兩半圓的對(duì)接處c點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力恰好為零，知小球?qū)�C點(diǎn)彈力等于軌道的重力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在C點(diǎn)的速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出初速度的大小．

解答：解：（1）由動(dòng)量定理可知，I=mv₀-0  
設(shè)小球到達(dá)d點(diǎn)處速度為v，由動(dòng)能定理，得
-μmgL-mg?4R=

1

2

mv2-

1

2

mv02
小球由d點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，有4R=

1

2

gt2
s=vt
聯(lián)立①②③并代入數(shù)值，解得小球從最高點(diǎn)d拋出后的水平射程：
s=

2 6

5

m≈0.98m
（2）設(shè)小球到達(dá)c點(diǎn)處速度為v_c，由動(dòng)能定理，得
-μmgL-mg?2R=

1

2

mvc2-

1

2

mv02
當(dāng)小球通過(guò)c點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得
N′+mg=m

vc2

R

要使軌道對(duì)地面的壓力為零，有N′=Mg
解得小球的最小速度：v₀=6m/s．
答：（1）小球從最高點(diǎn)d拋出后的水平射程為0.98m．
（2）小球在a點(diǎn)的速度v₀為6m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)量定理、動(dòng)能定理、牛頓第二定律，涉及到平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、直線運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，是一道好題．