Question

（2012?湛江一模）如圖所示，一輛質(zhì)量為M的小車(chē)靜止在水平面上，車(chē)面上右端點(diǎn)有一可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊1，水平面上有與車(chē)右端相距為4R的固定的

1

4

光滑圓弧軌道，其圓周半徑為R，圓周E處的切線(xiàn)是豎直的，車(chē)上表面與地面平行且與圓弧軌道的末端D等高，在圓弧軌道的最低點(diǎn)D處，有另一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊2，兩滑塊質(zhì)量均為m．某人由靜止開(kāi)始推車(chē)，當(dāng)車(chē)與圓弧軌道的豎直壁CD碰撞后人即撤去推力并離開(kāi)小車(chē)，車(chē)碰后靠著豎直壁靜止但不粘連，滑塊1和滑塊2則發(fā)生碰撞，碰后兩滑塊牢牢粘在一起不再分離．車(chē)與地面的摩擦不計(jì)，滑塊1、2與車(chē)面的摩擦系數(shù)均為μ，重力加速度為g，滑塊與車(chē)面的最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力．
（1）若人推車(chē)的力是水平方向且大小為F=

1

2

μ(M+m)g，則在人推車(chē)的過(guò)程中，滑塊1與車(chē)是否會(huì)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)？
（2）在（1）的條件下，滑塊1與滑塊2碰前瞬間，滑塊1的速度多大？若車(chē)面的長(zhǎng)度為

R

4

，小車(chē)質(zhì)量M=km，則k的取值在什么范圍內(nèi)，兩個(gè)滑塊最終沒(méi)有滑離車(chē)面？

Answer 1

分析：（1）假設(shè)滑塊1與車(chē)不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，分別對(duì)整體和滑塊1研究，求出滑塊受到的靜摩擦力大小，與最大靜摩擦力比較，判斷滑塊1與車(chē)是否會(huì)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)．
（2）若滑塊1與車(chē)沒(méi)有發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，對(duì)整體，運(yùn)用動(dòng)能定理求出滑塊1與滑塊2碰撞前瞬間滑塊1的速度．兩滑塊碰撞過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律求出碰撞后共同的速度．
兩滑塊粘合在一起后沖上光滑圓弧軌道，由于圓弧軌道的E處的切線(xiàn)是豎直的，則無(wú)論兩滑塊在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)，還是從E處豎直向上離開(kāi)圓弧軌道，最后還是沿著圓弧軌道回到D處，整個(gè)過(guò)程中兩滑塊的機(jī)械能守恒，兩滑塊最終以原速率沖上車(chē)面．根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒結(jié)合求解兩個(gè)滑塊最終沒(méi)有滑離車(chē)面時(shí)的k．

解答：解：（1）設(shè)滑塊1與車(chē)不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，它們的加速度大小為a，由牛頓第二定律有F=（M+m）a  ①
此時(shí)滑塊受到的靜摩擦力大小為f=ma  ②
而F=

1

2

μ(M+m)g  ③
由①②③解得f=

1

2

μmg  ④
又滑塊1與車(chē)面的最大靜摩擦力為f_m=μmg ⑤
顯然f＜f_m，說(shuō)明滑塊1與車(chē)面之間沒(méi)有發(fā)生相對(duì)滑動(dòng) 
（2）設(shè)滑塊1與滑塊2碰撞前瞬間滑塊1的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理有
  F?4R=

1

2

(M+m)v2 ⑥
聯(lián)立③⑥求得v=2

μgR

 ⑦
設(shè)滑塊1和2發(fā)生碰撞后的共同速度為v₁，由動(dòng)量守恒定律有  mv=2mv₁ ⑧
聯(lián)立⑦⑧求得v1=

μgR

  ⑨
兩滑塊粘合在一起后以v₁的速度沖上光滑圓弧軌道，由于圓弧軌道的E處的切線(xiàn)是豎直的，則無(wú)論兩滑塊在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)，還是從E處豎直向上離開(kāi)圓弧軌道，最后還是沿著圓弧軌道回到D處，整個(gè)過(guò)程中兩滑塊的機(jī)械能守恒，兩滑塊最終以速度v₁沖上車(chē)面．
設(shè)兩滑塊滑到車(chē)的左端時(shí)，若滑塊剛好不滑出車(chē)面，滑塊和車(chē)應(yīng)有共同的速度設(shè)為v₂，由系統(tǒng)的動(dòng)量守恒有           
   2mv₁=（2m+km）v₂=10 ⑩
由系統(tǒng)的能量守恒有 μ2mg?

R

4

=

1

2

?2m

v

2 1

-

1

2

(2m+km)

v

2 2

?
聯(lián)立⑨=10 ⑩?解得k=2?
所以當(dāng)k≤2時(shí)，兩個(gè)滑塊最終沒(méi)有滑離小車(chē)                      
答：
（1）若人推車(chē)的力是水平方向且大小為F=

1

2

μ（M+m）g，在人推車(chē)的過(guò)程中，滑塊1與車(chē)不會(huì)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)．
（2）在（1）的條件下，滑塊1與滑塊2碰前瞬間，滑塊1的速度為

μgR

，k的取值在k≤2時(shí)，兩個(gè)滑塊最終沒(méi)有滑離車(chē)面．

點(diǎn)評(píng)：此題過(guò)程較復(fù)雜，按程序法分析過(guò)程，確定每個(gè)過(guò)程遵循的物理規(guī)律是關(guān)鍵．特別是要挖掘隱含的臨界條件．在人推車(chē)的過(guò)程中，根據(jù)牛頓第二定律，運(yùn)用整體法和隔離法求出滑塊1與車(chē)間的靜摩擦力，根據(jù)靜摩擦力與最大靜摩擦力的關(guān)系，確定滑塊1與車(chē)是否相對(duì)滑動(dòng)．對(duì)于滑塊滑回車(chē)上后，當(dāng)滑塊滑車(chē)的最右端，且速度與車(chē)的速度相等時(shí)，恰好沒(méi)有滑出車(chē)，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒求出k，是本題解答的關(guān)鍵步驟．