Question

【題目】如圖所示，軌道ABCD在豎直平面內(nèi)，其中AB段為光滑斜面，BC段為粗糙水平面，動(dòng)摩擦因素為μ，CD是光滑曲面，D為曲面上半徑為R的小部分球面的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)切線水平，離水平面高為h。質(zhì)量為m的小物塊P在斜面上，若在距水平面高H處由靜止釋放，物塊能沿著軌道ABCD到達(dá)D處。不計(jì)小物塊在B轉(zhuǎn)折處能量的損失。

（1）求物塊在水平面上滑行時(shí)加速度的大��；

（2）若物塊運(yùn)動(dòng)到D處時(shí)剛好能脫離，求它在C處時(shí)的速度；

（3）證明：物塊不脫離D點(diǎn)的條件為。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）物塊在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，合力由滑動(dòng)摩擦力提供，根據(jù)牛頓第二定律有

聯(lián)立解得

（2）當(dāng)物塊到達(dá)D點(diǎn)時(shí)剛好脫離球面，此時(shí)物塊的重力提供向心力，有

可得

而物塊由C到D，由機(jī)械能守恒有

聯(lián)立解得

（3）證明：物塊在斜面上下滑時(shí)機(jī)械能守恒，有

解得

物塊水平面上作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，有

將和代入，得

即，將代入上式中的，得

當(dāng)物塊到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度剛好為零，在這種情況下物塊在C處時(shí)有最小速度，

物塊由C到D，機(jī)械能守恒，有

可得

將代入中的，得

所以物塊不脫離D點(diǎn)的條件為，得證。