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3.()直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點P,若過點P且以雙曲線12x2-4y2=3的焦點作橢圓的焦點,那么具有最短長軸的橢圓方程為_________.
參考答案
難點磁場
1.解析:設(shè)F1(-c,0)、F2(c,0)、P(x,y),則
|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2),
即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2,
又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|.|PF2|,
依雙曲線定義,有|PF1|-|PF2|=4,
依已知條件有|PF1|.|PF2|=|F1F2|2=4c2
∴16+8c2<50+2c2,∴c2<,
又∵c2=4+b2<,∴b2<,∴b2=1.
答案:1
2.解法一:設(shè)所求圓的圓心為P(a,b),半徑為r,則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|
∵圓P截y軸所得弦長為2,∴r2=a2+1
又由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°,故弦長|AB|=r,故r2=2b2,從而有2b2-a2=1
又∵點P(a,b)到直線x-2y=0的距離d=,
因此,5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,
當且僅當a=b時上式等號成立,此時5d2=1,從而d取最小值,為此有,
∵r2=2b2, ∴r2=2
于是所求圓的方程為:(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2
解法二:設(shè)所求圓P的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
設(shè)A(0,y1),B(0,y2)是圓與y軸的兩個交點,則y1、y2是方程a2+(y-b)2=r2的兩根,
∴y1,2=b±
由條件①得|AB|=2,而|AB|=|y1-y2|,得r2-a2=1
設(shè)點C(x1,0)、D(x2,0)為圓與x軸的兩個交點,則x1,x2是方程(x-a)2+b2=r2的兩個根,
∴x1,2=a±
由條件②得|CD|=r,又由|CD|=|x2-x1|,得2b2=r2,故2b2=a2+1
設(shè)圓心P(a,b)到直線x-2y=0的距離為d=
∴a-2b=±d,得a2=(2b±d)2=4b2±4bd+5d2
又∵a2=2b2-1,故有2b2±4bd+5d2+1=0.把上式看作b的二次方程,
∵方程有實根.
∴Δ=8(5d2-1)≥0,得5d2≥1.
∴dmin=,將其代入2b2±4bd+5d2+1=0,
得2b2±4b+2=0,解得b=±1.
從而r2=2b2=2,a=±=±1
于是所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2
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一、1.解析:將直線方程變?yōu)?i>x=3-2y,代入圓的方程x2+y2+x-6y+m=0,
得(3-2y)2+y2+(3-2y)+m=0.
整理得5y2-20y+12+m=0,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)
則y1y2=,y1+y2=4.
又∵P、Q在直線x=3-2y上,
∴x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4y1y2-6(y1+y2)+9
故y1y2+x1x2=5y1y2-6(y1+y2)+9=m-3=0,故m=3.
答案:A
2.解析:由題意,可設(shè)橢圓方程為: =1,且a2=50+b2,
即方程為=1.
將直線3x-y-2=0代入,整理成關(guān)于x的二次方程.
由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.
答案:C
二、3.解析:所求橢圓的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.
欲使2a最小,只需在直線l上找一點P.使|PF1|+|PF2|最小,利用對稱性可解.
答案: =1
4.解析:設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2
則有
由此可寫所求圓的方程.
答案:x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0
三、5.解:|MF|max=a+c,|MF|min=a-c,則(a+c)(a-c)=a2-c2=b2,
∴b2=4,設(shè)橢圓方程為 ①
設(shè)過M1和M2的直線方程為y=-x+m ②
將②代入①得:(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 ③
設(shè)M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點為(x0,y0),
則x0= (x1+x2)=,y0=-x0+m=.
代入y=x,得,
由于a2>4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=-,
又|M1M2|=,
代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為: =1.
6.解:以拱頂為原點,水平線為x軸,建立坐標系,
如圖,由題意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B坐標分別為(-10,-4)、(10,-4)
設(shè)拋物線方程為x2=-2py,將A點坐標代入,得100=-2p×(-4),解得p=12.5,
于是拋物線方程為x2=-25y.
由題意知E點坐標為(2,-4),E′點橫坐標也為2,將2代入得y=-0.16,從而|EE′|=
(-0.16)-(-4)=3.84.故最長支柱長應(yīng)為3.84米.
7.解:由e=,可設(shè)橢圓方程為=1,
又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,
又=1,兩式相減,得=0,
即(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.
化簡得=-1,故直線AB的方程為y=-x+3,
代入橢圓方程得3x2-12x+18-2b2=0.
有Δ=24b2-72>0,又|AB|=,
得,解得b2=8.
故所求橢圓方程為=1.