2004IMO(中文版)

1. △ABC 為銳角三角形，AB ≠ AC；以BC為直徑的圓分別交AB和AC于M 和N . 記BC中點(diǎn)為

O. ∠BAC和∠MON的角平分線交于R. 求證△BMR的外接圓和△CNR的外接圓有一個(gè)公共點(diǎn)在

BC邊上.

2. 求所有的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f，使得對(duì)所有滿足 ab + bc + ca = 0的實(shí)數(shù)a, b, c 有

f(a?b) + f(b?c) + f(c?a) = 2f(a + b + c).

3. 定義一個(gè)由6個(gè)單位正方形構(gòu)成的“鉤”（圖傳不上：3 X 3 的去掉中心塊和一邊上連

續(xù)的兩塊，包括由此圖經(jīng)旋轉(zhuǎn)、反射得到的圖形）. 定出所有的能被鉤覆蓋的m×n的矩形

.

4. 設(shè)n >= 3. t_1, t_2, ..., t_n > 0 滿足

n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ... + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n)

證明t_1, t_2, ..., t_n中隨便取3個(gè)數(shù)都能構(gòu)成一個(gè)三角

5. 凸四邊形ABCD的對(duì)角線BD 不平分∠ABC和∠CDA. ABCD內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PBC = ∠DBA和∠

PDC = ∠BDA. 求證：ABCD是圓的內(nèi)接四邊形當(dāng)且僅當(dāng)AP = CP.

6. 稱(chēng)一個(gè)正整數(shù)為“交替的”，如果它的十進(jìn)表示的任兩個(gè)連續(xù)數(shù)位的奇偶性不同. 求所

有的正整數(shù)n，n的某個(gè)倍數(shù)是交替的.