1. 試找出所有的整數(shù)a,b,c滿足1<a<b<c并且(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的因子。

2. 找出所有定義在實(shí)數(shù)上并且取值也是實(shí)數(shù)的函數(shù)f使得對(duì)所有x,y都有

f(x²+f(y))=y+f(x)²。

3. 空間中有9個(gè)點(diǎn)，無(wú)4點(diǎn)共面，每?jī)牲c(diǎn)之間連接一個(gè)被染上紅色或藍(lán)色或者不染色的線段，試找出最小的n使得，只要恰好有n條線段被染色，這些染色的線段一定包含一個(gè)同色三角形（即三角形的三邊被染上相同的顏色）。

4. L是圓Γ的一條切線，M是L上的一點(diǎn)，試找出所有這樣的點(diǎn)P的軌跡：存在L上的關(guān)于M對(duì)稱的兩點(diǎn)Q,R，△PQR的內(nèi)切圓是Γ。

5. 設(shè)S是三維空間中的一個(gè)有限點(diǎn)集， 集合S_x,S_y,S_z分別是S在平面yz,zx,xy上的投影，

求證：|S|²<=|S_x|?|S_y|?|S_z|。

其中|A|表示集合A的元素個(gè)數(shù)。 

[注：一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)平面上正交投影指的是該點(diǎn)到平面作垂線的垂足。]

6. 對(duì)正整數(shù)n，S(n)是滿足如下條件最大的整數(shù)：對(duì)每個(gè)正整數(shù)k<= S(n)，n²都可寫成k個(gè)完全平方數(shù)的和。