1. 設(shè)n是給定的正整數(shù)，T是一個(gè)集合，其元素是平面上滿足x,y是非負(fù)整數(shù)且x+y<n的點(diǎn)(x,y)。T中的點(diǎn)均被染上紅色或藍(lán)色，滿足：如果(x,y)是紅色，則所有滿足x'≤x且y'≤y的點(diǎn)(x',y')也都染成紅色。如果n個(gè)藍(lán)點(diǎn)的橫坐標(biāo)各不相同，則稱由這n個(gè)藍(lán)點(diǎn)組成的集合為一個(gè)X-集；如果n個(gè)藍(lán)點(diǎn)的縱坐標(biāo)各不相同，則稱這n個(gè)藍(lán)點(diǎn)所組成的集合為Y-集。

求證：X-集的個(gè)數(shù)和Y-集的個(gè)數(shù)相同。

2. BC為圓O的直徑，A為⊙O上的一點(diǎn)，0^o<∠AOB <120^o, D是弧AB（不含C的�。┑闹悬c(diǎn)，過(guò)O平行于DA的直線交AC 于I，OA的垂直平分線交⊙O于E、F，

求證：I是△CEF的內(nèi)心。

3. 找出所有的正整數(shù)對(duì)m,n≥3，是的存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)a，使(a^m +a-1)/(aⁿ +a²-1)為整數(shù)。

4. 設(shè)n為大于1的整數(shù)，全部正因數(shù)為d₁,d₂,...,d_k， 其中1=d₁ < d₂ < ... < d_k=n，

記D=d₁d₂+d₂d₃+...+d_k-1d_k。

5. 找出所有從實(shí)數(shù)集R到R的函數(shù)f，使得對(duì)所有x,y,z∈R，有

(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)。

6. 設(shè)Γ₁，Γ₂，...,Γ_n是平面上半徑為1的圓，其中n≥3，記他們的圓心分別為O₁,O₂,...,O_n。假設(shè)任意一條直線都至多和兩個(gè)圓相交或相切，

求證：

∑_i<j 1/O_iO_j ≤ (n-1)π/4 。