2009大連市高三雙基考試

數(shù)學(xué)試卷（理科）

參考公式：

棱錐體積公式：（其中為棱錐的底面積，為棱錐的高）

 

一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1、集合，則=

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　A．    B. C.D.  

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2、在等差數(shù)列中，已知，則等于

A. 1003             B. 1004             C. 1005             D.1006

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3、函數(shù)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間是

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A.     B.         C.         D.

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4、已知函數(shù)定義域?yàn)?sub>，則一定為

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A．非奇非偶函數(shù)     B. 奇函數(shù)           C. 偶函數(shù)   D.既奇又偶函數(shù)

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5、二項(xiàng)展開(kāi)式中的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為

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A.   B.    C.      D.

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6、已知函數(shù)，則

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A.    B.      C.            D.

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７、已知等腰直角，，,點(diǎn)是內(nèi)部或邊界上一動(dòng)點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，則的最大值為

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A.4         B.5             C.6             D.7

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8、已知數(shù)列（），則的最小值為

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A．-19          B.-18           C.-17       D.-16

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9、下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

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A.已知命題為“”，則為“”

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m.tourm.cnB. 若為假命題，則均為假命題

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C. 的一個(gè)充分不必要條件是   

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D.“全等三角形的面積相等”的否命題是假命題

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10、如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線段上.當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積為                                                                                                                       

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第１０題圖

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11、已知拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率為

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A.    B.       C.          D.

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12、已知，則關(guān)于的方程有實(shí)根的概率為

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A.         B.          

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C.         D.

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第Ⅱ卷(非選擇題  共90分)

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二、填空題:（ 本大題共6小題，每小題4分，考生做答4題，滿(mǎn)分16分．其中15-18題是選做題.）

（一）必做題.

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13、已知雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn)在圓上，則雙曲線的漸近線方程為   ．

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14、給出如圖所示的程序框圖，那么輸出的數(shù)是　　　　　　.

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第１４題圖

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（二）選做題(考生只需選做二題，如果多做，則按所做的前兩題記分).

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15、（不等式選講選做題）不等式的解集為          ．

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16、（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題）極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到直線的距離是　      　　　．

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17、（幾何證明選講選做題）如圖，已知C在圓O直徑BE的延長(zhǎng)線上，CA切圓O于A點(diǎn)，DC是ACB的平分線交AE于點(diǎn)F,交AB于D點(diǎn)，則ADF=     ．

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18、（矩陣選講選做題）矩陣的逆矩陣是           ．

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      第１５題圖
      

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      三.解答題:本大題共6題,共74分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
      

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      １９、（本小題滿(mǎn)分12分）已知中，，角所對(duì)的邊分別是
      

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      （Ⅰ）求的取值范圍；
      

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      （Ⅱ）若，求的最小值．
      

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      ２０、（本小題滿(mǎn)分12分）如圖所示，三棱柱中，四邊形為菱形，，為等邊三角形，面面，分別為棱的中點(diǎn)
      

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      （Ⅰ）求證：面；
      

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      （Ⅱ）求二面角的大�。�
      

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      ２１、（本小題滿(mǎn)分12分）已知盒中有大小相同的 3個(gè)紅球 和t 個(gè)白球，從盒中一次性取出3個(gè)球，取到白球個(gè)數(shù)的期望為.若每次不放回地從盒中抽取一個(gè)球，一直到抽出所有白球時(shí)停止抽取，設(shè)為停止抽取時(shí)取到的紅球個(gè)數(shù)，
      

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      （Ⅰ）求白球的個(gè)數(shù)t；
      

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      （Ⅱ）求的數(shù)學(xué)期望.
      

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      ２２、（本小題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，
      

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      （Ⅰ）求證：是等差數(shù)列；
      

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      （Ⅱ）求.
      

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      ２３、（本小題滿(mǎn)分12分）已知可行域的外接圓C與軸交于點(diǎn)A1、A2，橢圓C1以線段A1A2為短軸，離心率
      

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      （Ⅰ）求圓C及橢圓C1的方程；
      

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      （Ⅱ）過(guò)橢圓C1上一點(diǎn)P(不在坐標(biāo)軸上)向圓C引兩條切線PA、PB、A、B為切點(diǎn)，直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N．求△MON面積的最小值．（O為原點(diǎn)）．
      

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      ２４、（本小題滿(mǎn)分1４分）已知函數(shù)（常數(shù)）
      

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      （Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
      

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      （Ⅱ）當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，求證：函數(shù)所有極值之和小于．
      

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      一、選擇題
      題號(hào)
      1
      2
      3
      4
      5
      6
      7
      8
      9
      10
      11
      12
      答案
      D
      C
      A
      C
      B
      D 
      C
      B
      A 
      Ｂ
      Ｄ
      Ａ
      二、填空題
      13．  　　　 14. 7500  　　　  15. （-1，1） 
      16. 　　　　　�。保罚�45o  　　　　　　　�。保福�
      三、解答題
      １９解：（Ⅰ）
      ┅┅┅┅┅┅┅４分
      因?yàn)?sub>，所以，所以，
      即的取值范圍為┅┅┅┅┅┅┅６分
      （Ⅱ）因?yàn)?sub>，所以┅┅┅┅┅┅┅８分
      所以的最小值為，當(dāng)即為等邊三角形時(shí)取到. ┅┅┅┅┅┅┅１2分
      ２０（Ⅰ）證明（方法一）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分
      所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?sub>，所以面；┅┅┅┅┅┅┅６分
      （方法二）取中點(diǎn)，連接，
      因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以
      又因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以┅┅┅┅┅┅┅３分
      且，
      所以面面，
      又面，所以面┅┅┅┅┅┅６分
      （方法三）取中點(diǎn)，連接，
      由題可得，又因?yàn)槊?sub>面，
      所以面，又因?yàn)榱庑?sub>中，所以.
      可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
      ┅┅┅┅┅┅┅7分
      不妨設(shè)，
      可得，
      ，，，，所以
      所以，┅┅┅┅┅┅┅9分
      設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，則，所以，又因?yàn)?sub>面，所以面.
      ┅┅┅┅┅┅┅12分
       
       
       
       
       
       
       
      （Ⅱ）（方法一）
      過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，連接.
      因?yàn)?sub>，
      所以，所以面，
      所以為二面角的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分
       
      因?yàn)槊?sub>面，所以點(diǎn)在面上的射影落在上，所以，
      所以，不妨設(shè)，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分
      所以，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅12分
      （方法二）由（Ⅰ）方法三可得，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，則.
      ┅┅┅┅┅┅┅８分
      又，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，則.┅┅┅┅┅┅┅１０分
      所以，因?yàn)槎娼?sub>為銳角，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅１2分
      ２１解：
      （Ⅰ）從盒中一次性取出三個(gè)球，取到白球個(gè)數(shù)的分布列是超幾何分布，┅┅┅┅┅┅┅１分
      所以期望為，所以，即盒中有 3個(gè)紅球，2 個(gè)白球．┅┅┅┅┅┅┅３分
      （Ⅱ）由題可得的取值為0，1，2，3.
      ,=,,
      所以的分布列為
      0
      1
      2
      3
      P
                                                               
┅┅┅┅┅┅┅１１分
      E =                                

      答：紅球的個(gè)數(shù)為2，的數(shù)學(xué)期望為2　　　　┅┅┅┅┅┅┅１2分
      ２２解：（Ⅰ）由可得，┅┅┅┅┅┅┅2分
      即，所以，┅┅┅┅┅┅┅４分
      又，所以，
      所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1┅┅┅┅┅┅┅６分
      （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即┅┅┅┅┅┅┅７分
      令  ①
      則  ②┅┅┅┅┅┅９分
      ①-②可得
      所以，所以┅┅１2分
      ２３解：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以及點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，
      ∵，∴為直角三角形，     ┅┅┅┅┅┅┅2分
      ∴外接圓C以原點(diǎn)O為圓心，線段A1A2為直徑，故其方程為．
      ∵2b=4，∴b=2．又，可得．
      ∴所求橢圓C1的方程是．          
┅┅┅┅┅┅┅4分
      （Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），，OA的斜率為，則PA的斜率為，則PA的方程為：化簡(jiǎn)為：，     
      同理PB的方程為               
┅┅┅┅┅┅┅6分
      又PA、PB同時(shí)過(guò)P點(diǎn)，則x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，
      ∴AB的直線方程為：x0x+y0y=4              
┅┅┅┅┅┅┅8分
      （或者求出以O(shè)P為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程）
            從而得到、
      所以      ┅┅┅┅┅┅┅8分
      當(dāng)且僅當(dāng).          
┅┅┅┅┅┅┅12分
      （或者利用橢圓的參數(shù)方程、函數(shù)求最值等方法求的最大值）
       
       
      ２４解：（Ⅰ）┅┅┅┅┅┅┅2分
      ①當(dāng)，即，在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅４分
      ②當(dāng)，即，當(dāng)時(shí)，在上有，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅６分
      ③當(dāng)，即
      當(dāng)時(shí)，函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，且，所以在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅８分
      當(dāng)時(shí)，函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸在右側(cè)，且，
      兩個(gè)根分別為，所以在上有，即在單調(diào)遞增；在上有，即在單調(diào)遞減.
      綜上：時(shí)，在單調(diào)遞增；時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. ┅┅┅┅┅┅┅１０分
      （Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，有極大值，極小值，所以
      ，又因?yàn)?sub>，
      ┅┅┅１2分
      所以
      =
		
      

      

      同步練習(xí)冊(cè)答案
      


      


      






















	



      
	







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