2009年遼寧省撫順市普通高中應(yīng)屆畢業(yè)生高考模擬考試

數(shù) 學(xué) 試 卷（理科）

本試卷分第Ⅰ卷 (選擇題)和第Ⅱ卷 (非選擇題)兩部分.共150 分.考試用時(shí) 120 分鐘.

題號(hào)

一

二

三

總分

17

18

19

20

21

選做題

得分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第Ⅰ卷 (選擇題 共60分)

參考公式:

樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差                        錐體體積公式

               

其中為樣本平均數(shù)                                  其中為底面面積，為高

柱體體積公式                                        球的表面積、體積公式

                                             ，

其中為底面面積，為高                            其中為球的半徑

 

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合題目要求的.

1．已知全集，，，或，，則下列結(jié)論正確的是（    ）

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   A．      B．      C．      D．

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2．已知i是虛數(shù)單位，和都是實(shí)數(shù)，且有，則復(fù)數(shù)的倒數(shù)是（    ）

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    A．         B．         C．         D．

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3．已知命題：且，命題：一元二次方程（）至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)根，則是的（    ）

A．充分不必要條件                   B．必要不充分條件

C．充分必要條件                     D．既不充分也不必要條件

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4．右圖給出的是計(jì)算的值的

一個(gè)程序框圖，則其中空白的判斷框內(nèi)，應(yīng)填入

下列四個(gè)選項(xiàng)中的（    ）

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A．        B．   

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C．        D．

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5．在等差數(shù)列{}中，，，

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若此數(shù)列的前10項(xiàng)和，前18項(xiàng)和

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，則數(shù)列{}的前18項(xiàng)和的

值是（    ）

A．24           B．48 

C．60           D．84

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6．曲線

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上的一個(gè)最大值點(diǎn)為，一個(gè)最小值點(diǎn)為，則、

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兩點(diǎn)間的距離的最小值是（    ）

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A．        B．        C．         D．                                          

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7．設(shè)O為ABC的外心，于，且，，則的值是（    ）

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A．1            B．2             C．          D．

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8．科研室的老師為了研究某班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)的相關(guān)性，對(duì)該班全體學(xué)生的某次

末檢測(cè)的數(shù)學(xué)成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，利用相關(guān)系數(shù)公式

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計(jì)算得，并且計(jì)算得到線性回歸方程為

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，其中，．由此得該班全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)相關(guān)性的下列結(jié)論正確的是（    ）

A．相關(guān)性較強(qiáng)且正相關(guān)             B．相關(guān)性較弱且正相關(guān)

C．相關(guān)性較強(qiáng)且負(fù)相關(guān)             D．相關(guān)性較弱且負(fù)相關(guān)

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9．過(guò)雙曲線（，）上的點(diǎn)P（，）作圓

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的切線，切點(diǎn)為A、B，若，則該雙曲線的離心率的值是（    ）

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A．4           B．3              C．2            D．

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10．甲、乙兩人因工作需要每天都要上網(wǎng)查找資料，已知他們每天上網(wǎng)的時(shí)間都不超過(guò)2小時(shí)，則在某一天內(nèi)，甲上網(wǎng)的時(shí)間不足乙上網(wǎng)時(shí)間的一半的概率是（    ）

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A．           B．            C．            D．

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11．設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

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①若，，，則；②若, ，則 ；

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③若，，則或；④若，，，則．

則其中正確命題的個(gè)數(shù)為（    ）

A．0            B．1             C．2            D．3　

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12．已知函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍是（    ）

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A．   B．    C．    D．　

第Ⅱ卷  （非選擇題  共90分）

本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答．第22題~第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答．

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二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案直接填在題中的橫線上.

13．已知函數(shù)滿足，則不等式的解集是            ．

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14．如圖，是一個(gè)長(zhǎng)方體ABCD―A1B1C1D1截

去“一個(gè)角”后的多面體的三視圖，在這個(gè)多

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面體中，AB=3，BC=4，CC1=2．則這個(gè)多

面體的體積為                 ．

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15．如果的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式中的系數(shù)是     ．

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16．已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線：，則由拋物線及直線所圍成的平面圖形的面積是              ．

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三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17．（本小題滿分12分）

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    已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{}滿足，（N*）．

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（Ⅰ）求數(shù)列{}的前項(xiàng)和；

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（Ⅱ）記數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，試用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意N*，都有

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．

 

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18．（本小題滿分12分）

     

 

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  如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1，CA=, AA1=3，M為側(cè)棱CC1上一點(diǎn)，．

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（Ⅰ）求證：AM^平面；

（Ⅱ）求平面ABM與平面AB1C1所夾銳角的余弦值．

 

 

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m.tourm.cn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．（本小題滿分12分）

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    國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)游泳池長(zhǎng)50，寬至少21，深1.80以上，設(shè)8條泳道，每條泳道寬2.50，分道線由直徑5～10的單個(gè)浮標(biāo)連接而成．某位游泳教練員指導(dǎo)甲、乙兩名游泳運(yùn)動(dòng)員在這樣國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的游泳池內(nèi)同時(shí)進(jìn)行游泳訓(xùn)練，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員可以隨機(jī)的選擇不同的泳道進(jìn)行訓(xùn)練．

 

 

（Ⅰ）求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇的泳道相隔數(shù)的分布列和期望；

 

（Ⅱ）若教練員為避免甲、乙兩人訓(xùn)練的相互干擾，要求兩人相隔的泳道數(shù)不少于2，為了同時(shí)計(jì)時(shí)的方便，又要求兩人相隔的泳道數(shù)不能超過(guò)4，求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員隨機(jī)的選擇不同的泳道訓(xùn)練恰好符合教練員的要求的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20．（本小題滿分12分）

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    設(shè)橢圓：的離心率為，點(diǎn)（，0），（0，），原點(diǎn)到直線的距離為．

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    （Ⅰ）求橢圓的方程；

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    （Ⅱ）設(shè)直線：與橢圓相交于、不同兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)線段上點(diǎn)的直線與軸相交于點(diǎn)，且有，，試求面積的最大值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分12分）

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    已知函數(shù)，（為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底）．

   

 

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（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

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    （Ⅱ）若，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，）（）有且只有一條直線與曲線相切，求的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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※考生注意：請(qǐng)?jiān)诘?2、23、24題中任選一題做答，如果多做，則在所做的題中，按題號(hào)順序的第一題記分．做答時(shí)，用2B鉛筆把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑．

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22．（本小題滿分10分）選修4―1：幾何證明選講

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     如圖，⊙O是以為直徑的△ABC的外接圓，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，與過(guò)點(diǎn)的切線交于，與相交于點(diǎn)．

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（Ⅰ）求證：；

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（Ⅱ）求證：．

 

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23．（本小題滿分10分）選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

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在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)．

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（Ⅰ）求線段的中點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

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（Ⅱ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若直線的極坐標(biāo)方程為（），求點(diǎn)到直線距離的最大值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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24．（本小題滿分10分）選修4―5：不等式選講

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已知函數(shù)，．

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（Ⅰ）若函數(shù)的值不大于1，求的取值范圍；

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    （Ⅱ）若不等式的解集為R，求的取值范圍．

 

 

 

 

 

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一、選擇題（每小題5分，共60分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

A

B

C

D

A

D

C

C

D

B

二、填空題（每小題5分，共20分）

13、（1，2）； 14、20； 15、21；16、．

三、解答題

17、解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，有，又，所以 ……1分

當(dāng)時(shí)，

           =

         

         所以，且當(dāng)時(shí)，  ……3分

又，因此數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)

且公差為2的等差數(shù)列，所以  ……2分

（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)時(shí)，，，關(guān)系成立 ……1分

 （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，關(guān)系成立，即，則

   ……1分  那么

   ，即當(dāng)時(shí)關(guān)系也成立

……3分  根據(jù)（1）和（2）知，關(guān)系式對(duì)任意N*都成立  ……1分

18、解：（Ⅰ）如圖，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，

，，  ……1分

設(shè)，則，，

即AM⊥BC，又因?yàn)?sub>，且，

所以 AM^平面  ……3分

（Ⅱ），因?yàn)?sub>，所以，得，

即，可得平面的一個(gè)法向量為=  ……3分

，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則且，得，，令，得平面的一個(gè)法向量為=  ……3分設(shè)平面ABM與平面AB1C1所夾銳角為，

則  ……2分

19、解：（Ⅰ）隨機(jī)變量甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇的泳道相隔數(shù)X的分布列為：

X

0

1

2

3

4

5

6

     ……6分

泳道相隔數(shù)X的期望為：

E（X）= ……2分

（Ⅱ）  ……4分

20、解：（Ⅰ）由得  ……2分

可得直線的方程為，于是，

得，，，所以橢圓的方程為  ……2分

（Ⅱ）設(shè)，由方程組得，

      所以有，，且，即 ……2分

    

            ……2分

     因?yàn)?sub>，所以，又，所以是線段的中點(diǎn)，

     點(diǎn)的坐標(biāo)為，即的坐標(biāo)是，因此

     直線的方程為，得點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），

     所以   ……2分

    因此

    所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為 ……2分

21、解：（Ⅰ）

                     ……2分

若，則，為R上的單調(diào)遞增函數(shù)；

若，的解為或，的解為，

此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減；

若，的解為或，的解為，

此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減……3分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，

因?yàn)?sub>，所以點(diǎn)（0，）不在曲線上，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，則切線方程為，所以有及

，得……2分 令，

則，

令，得，，，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以在時(shí)取極大值，

在時(shí)取極小值，在時(shí)取極大值，又，

所以是的最大值 ……3分 

如圖，過(guò)點(diǎn)（0，）有且只有一條直線與曲線

相切等價(jià)于直線與曲線

有且只有一個(gè)交點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，，所以或  ……2分

22、（Ⅰ）證明：因?yàn)锳B為⊙O直徑，

所以 ∠ACB＝90°，即 AC⊥BC，

因?yàn)镈是弧的中點(diǎn)，由垂徑定理

得OD⊥BC，因此OD∥AC  ……3分

又因?yàn)辄c(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E為

BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E＝AC  ……2分

（Ⅱ）證明：連結(jié)CD，因?yàn)镻C是⊙O的切線，所以∠PCD＝∠CAP，又∠P是公共角，所以 △PCD∽△PAC．得，得 ……3分

因?yàn)镈是弧的中點(diǎn)，所以，因此   ……2分

23、解：（Ⅰ）曲線上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），

     設(shè)P的坐標(biāo)為（，），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，所以點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（，）……3分

      因此點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），

消去參數(shù)得點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程為 ……2分

（Ⅱ）由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系得直線的直角坐標(biāo)方程為

  ……2分 又由（Ⅰ）知點(diǎn)的軌跡為圓心在原點(diǎn)半徑為2的圓，

因?yàn)樵c(diǎn)（0，0）到直線的距離為

所以點(diǎn)到直線距離的最大值  ……3分

24、解：（Ⅰ）由題意得，即  得 ……2分

     因?yàn)?sub> 

所以的取值范圍是[0，6]   ……3分

（Ⅱ），

因?yàn)閷?duì)于，由絕對(duì)值的三角不等式得

   ……3分

于是有，得，即的取值范圍是  ……2分

 

 

 

 

 

 

 


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