2009年高考數學難點突破專題輔導四

難點4  三個“二次”及關系

三個“二次”即一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式是中學數學的重要內容，具有豐富的內涵和密切的聯系，同時也是研究包含二次曲線在內的許多內容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關.本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯系，掌握函數、方程及不等式的思想和方法.

●難點磁場

已知對于x的所有實數值，二次函數f(x)=x²－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非負的，求關于x的方程=|a－1|+2的根的取值范圍.

●案例探究

［例1］已知二次函數f(x)=ax²+bx+c和一次函數g(x)=－bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).

(1)求證：兩函數的圖象交于不同的兩點A、B；

(2)求線段AB在x軸上的射影A₁B₁的長的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查考生對函數中函數與方程思想的運用能力.屬于★★★★★題目.

知識依托：解答本題的閃光點是熟練應用方程的知識來解決問題及數與形的完美結合.

錯解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數”.

技巧與方法：利用方程思想巧妙轉化.

(1)證明：由消去y得ax²+2bx+c=0

Δ=4b²－4ac=4(－a－c)²－4ac=4(a²+ac+c²)=4［(a+c²］

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

∴c²>0,∴Δ>0,即兩函數的圖象交于不同的兩點.

(2)解：設方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁和x₂,則x₁+x₂=－,x₁x₂=.

|A₁B₁|²=(x₁－x₂)²=(x₁+x₂)²－4x₁x₂

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)

∵的對稱軸方程是.

∈(－2,－)時，為減函數

∴|A₁B₁|²∈(3,12),故|A₁B₁|∈().

［例2］已知關于x的二次方程x²+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內，另一根在區(qū)間(1，2)內，求m的范圍.

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內，求m的范圍.

命題意圖：本題重點考查方程的根的分布問題，屬★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數性質所具有的意義.

錯解分析：用二次函數的性質對方程的根進行限制時，條件不嚴謹是解答本題的難點.

技巧與方法：設出二次方程對應的函數，可畫出相應的示意圖，然后用函數性質加以限制.

解：(1)條件說明拋物線f(x)=x²+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內，畫出示意圖，得

∴.

(2)據拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0，1)內，列不等式組

(這里0<－m<1是因為對稱軸x=－m應在區(qū)間(0，1)內通過)

●錦囊妙計

1.二次函數的基本性質

(1)二次函數的三種表示法：

y=ax²+bx+c;y=a(x－x₁)(x－x₂);y=a(x－x₀)²+n.

(2)當a>0,f(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值M，最小值m,令x₀= (p+q).

若－<p,則f(p)=m,f(q)=M;

若p≤－<x₀,則f(－)=m,f(q)=M;

若x₀≤－<q,則f(p)=M,f(－)=m;

若－≥q,則f(p)=M,f(q)=m.

2.二次方程f(x)=ax²+bx+c=0的實根分布及條件.

(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a?f(r)<0;

(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r

(3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內有兩根

(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內只有一根f(p)?f(q)<0,或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,q)內成立.

(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(p<q).

3.二次不等式轉化策略

(1)二次不等式f(x)=ax²+bx+c≤0的解集是：(－∞,α)∪［β,+∞a<0且f(α)=f(β)=0;

(2)當a>0時，f(α)<f(β) |α+|<|β+|,當a<0時，f(α)<f(β)|α+|>

|β+|;

(3)當a>0時，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立或

(4)f(x)>0恒成立

●殲滅難點訓練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

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三、解答題

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難點磁場

解：由條件知Δ≤0,即(－4a）²－4(2a+12)≤0,∴－≤a≤2

(1)當－≤a＜1時，原方程化為：x=－a²+a+6,∵－a²+a+6=－(a－)²+.

∴a=－時，x_min=,a=時，x_max=.

∴≤x≤.

(2)當1≤a≤2時，x=a²+3a+2=(a+)²－

∴當a=1時，x_min=6,當a=2時，x_max=12,∴6≤x≤12.

綜上所述,≤x≤12.

殲滅難點訓練

一、1.解析：當a－2=0即a=2時,不等式為－4＜0,恒成立.∴a=2,當a－2≠0時，則a滿足,解得－2＜a＜2,所以a的范圍是－2＜a≤2.

答案：C

2.解析：∵f(x)=x²－x+a的對稱軸為x=,且f(1)>0,則f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1),

∴m－1＜0,∴f(m－1)>0.

答案：A

二、3.解析：只需f(1)=－2p²－3p+9>0或f(－1)=－2p²+p+1>0即－3＜p＜或－＜p＜1.∴p∈(－3, ).

答案：(－3，）

4.解析：由f(2+x)=f(2－x)知x=2為對稱軸，由于距對稱軸較近的點的縱坐標較小，

∴|1－2x²－2|＜|1+2x－x²－2|,∴－2＜x＜0.

答案：－2＜x＜0

三、5.解：(1）由log_a得log_at－3=log_ty－3log_ta

由t=a^x知x=log_at，代入上式得x－3=,?

∴l(xiāng)og_ay=x²－3x+3，即y=a (x≠0).

(2)令u=x²－3x+3=(x－)²+ (x≠0),則y=a^u

①若0＜a＜1,要使y=a^u有最小值8，

則u=(x－)²+在(0，2上應有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.

②若a>1,要使y=a^u有最小值8，則u=(x－)²+,x∈(0,2應有最小值

∴當x=時，u_min=,y_min=

由=8得a=16.∴所求a=16,x=.

6.解：∵f(0)=1>0

(1)當m＜0時，二次函數圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側，符合題意.

(2）當m>0時，則解得0＜m≤1

綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤1且m≠0}.

7.證明：(1)

,由于f(x)是二次函數，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0.

(2)由題意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r

①當p＜0時，由(1）知f()＜0

若r>0,則f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)內有解;

若r≤0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0,

又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)內有解.

②當p＜0時同理可證.

8.解：(1）設該廠的月獲利為y,依題意得?

y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x²+130x－500

由y≥1300知－2x²+130x－500≥1300

∴x²－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45

∴當月產量在20~45件之間時，月獲利不少于1300元.

(2）由(1）知y=－2x²+130x－500=－2(x－)²+1612.5

∵x為正整數，∴x=32或33時，y取得最大值為1612元，

∴當月產量為32件或33件時，可獲得最大利潤1612元.