姜堰市婁莊中學2008～2009學年度第二學期周周練

高三數學試題

一、填空題(每小題5分,14小題，共70分，把答案填在答題紙指定的橫線上)

1．集合　　 ▲      ．

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2．“”是“”的　　▲   　條件．

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3．在△ABC中，若（a＋b＋c）(b＋c－a)＝3bc，則A等于_____▲_______．

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4．已知>0，若平面內三點A（1，-），B（2，），C（3，）共線，則=___▲____.

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5．已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點,若，則=_____▲_______.

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6．設雙曲線的右頂點為A，右焦點為F．過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為　　　▲　　　．

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7．已知t為常數，函數在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則t=____▲____.

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8．已知點P在拋物線上，那么點P到點的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為________▲______.

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9．如圖，已知球O點面上四點A、B、C、D，DA平面ABC，

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ABBC，DA=AB=BC=，則球O點體積等于_____▲______.

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10．定義：區(qū)間的長度為.已知函數定義域為，值域為，則區(qū)間的長度的最大值為     ▲      .

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11．在平行四邊形中，與交于點是線段中點，的延長線與交于點．若，，則_____▲_____.

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12．設是正項數列，其前項和滿足：,則數列的通項公式=     ▲    .

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13．若從點O所作的兩條射線OM、ON上分別有點、與點、，則三角形面積之比為：. 若從點O所作的不在同一個平面內的三條射線OP、OQ和OR上分別有點、與點、和、，則類似的結論為：__  ▲  

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14．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為__________▲___________.

                                                                                                                      

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二、解答題（本大題6小題，共90分）

15．（本小題滿分14分）已知向量,,。（1）若,求；（2）求的最大值.

 

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16．(本小題滿分14分）某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示坐標系下經過原點O的一條拋物線（圖中標出的數據為已知條件）.在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面米，入水處距池邊的距離為4米，運動員在距水面高度為5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調整好入水姿勢，否則就會出現失誤．⑴求這條拋物線的解析式；⑵在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（Ⅰ）中的拋物線，且運動員在空中調整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為米，問此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由．

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17．（本小題滿分15分）如圖所示,在直四棱柱中,DB=BC,,點是棱上一點。（1）求證：面；（2）求證：；（3）試確定點的位置,使得平面平面.

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18．（本小題滿分15分）已知圓O:x2+y2=2交x軸于A，B兩點,曲線C是以AB為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點為F.若P是圓O上一點,連結PF,過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的左準線于點Q.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若點P的坐標為（1,1）,求證:直線PQ與圓相切；（3）試探究:當點P在圓O上運動時（不與A、B重合）,直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系?若是,請證明；若不是,請說明理由.

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19．(本小題滿分16分)已知是實數，函數。⑴求函數f(x)的單調區(qū)間；⑵設g(x)為f(x)在區(qū)間上的最小值。（1）寫出g(a)的表達式；（2）求的取值范圍，使得.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20． (本小題滿分16分)已知數列的前n項和為設集合,(1) 求數列的通項公式；(2) 若以集合A中的元素作為點的坐標,則這些點是否都在同一條直線上? 并說明理由;

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(3) “至多只有一個元素”是否正確? 若正確, 請證明; 若不正確, 請舉例說明

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第Ⅱ卷（附加題 共40分）

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1． (本小題滿分10分) 從極點作直線與另一直線相交于點,在上取一點,使。（1）求點的軌跡方程；（2）設為上的任意一點,試求的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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2．(本小題滿分10分) 試求曲線在矩陣MN變換下的函數解析式，其中M =，N =．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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3．(本小題滿分10分)已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且,是的中點．（1）求與所成的角余弦值；（2）求二面角的余弦值．

 

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4.(本小題滿分10分)一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數：f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx，f6(x)=2．（1）現從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得一個新函數，求所得函數是奇函數的概率；（2）現從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數的分布列和數學期望．

 

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第Ⅰ卷

一、填空題:

1. {1,2,3}; 2.充分非必要;3.; 4.;  5. 8;  6. (歷史) 5049; (物理) ; 7. 1; 8.

9.;10.; 11.; 12.;13.;14. 4.

二、解答題：

15. 解：（1）因為,所以…………（3分）

     得 （用輔助角得到同樣給分）              ………（5分）

     又,所以=           ……………………………………（7分）

（2）因為    ………………………（9分）

=                     …………………………………………（11分）

所以當=時, 的最大值為5＋4=9               …………………（13分）

故的最大值為3                     ………………………………………（14分）

16. (選歷史方向) 解: （1）表格為:

 

高  個

非高個

合  計

大  腳

5

2

7

非大腳

1

 

13

合  計

6

14

 

…… （3分）

（說明:黑框內的三個數據每個1分,黑框外合計數據有錯誤的暫不扣分）

（2）提出假設H0: 人的腳的大小與身高之間沒有關系. …………………………… （4分）

根據上述列聯表可以求得.…………………… （7分）

當H0成立時,的概率約為0.005,而這里8.802>7.879,

所以我們有99.5%的把握認為: 人的腳的大小與身高之間有關系. ……………… （8分）

（3） ①抽到12號的概率為………………………………… （11分）

②抽到“無效序號（超過20號）”的概率為…………………… （14分）

(選物理方向) 解：（Ⅰ）在給定的直角坐標系下，設最高點為A，入水點為B，

拋物線的解析式為． …………………………… 2′

由題意，知O（0，0），B（2，－10），且頂點A的縱坐標為．……………   4′

或        …………………………… 8′

∵拋物線對稱軸在y軸右側，∴,又∵拋物線開口向下，∴a＜0,

從而b＞0,故有       ……………………………9′           

∴拋物線的解析式為.   ……………………………10′

（Ⅱ）當運動員在空中距池邊的水平距離為米時，

即時，， ……………………………12′

∴此時運動員距水面的高為10－＝＜5，因此，此次跳水會失誤.………………14′

17. （1）證明：由直四棱柱,得,

所以是平行四邊形,所以         …………………（3分）

而,,所以面  ………（4分）

（2）證明：因為, 所以       ……（6分）

又因為,且，所以    ……… ……（8分）

而，所以               …………………………（9分）

（3）當點為棱的中點時,平面平面…………………（10分）

取DC的中點N,,連結交于,連結.

因為N是DC中點,BD=BC,所以；又因為DC是面ABCD與面的交線,而面ABCD⊥面,

所以……………（12分）

又可證得,是的中點,所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四邊形,所以BN∥OM,所以OM平面,

因為OM?面DMC1,所以平面平面………………………（14分）

18. 解：（1）因為,所以c=1……………………（2分）

 則b=1,即橢圓的標準方程為…………………………（4分）

（2）因為（1,1）,所以,所以,所以直線OQ的方程為y=－2x（6分）

又橢圓的左準線方程為x=－2,所以點Q（－2,4） …………………………（7分）

所以,又,所以,即,

故直線與圓相切……………………………………………………（9分）

（3）當點在圓上運動時,直線與圓保持相切              ………（10分）

證明:設（）,則,所以,,

所以直線OQ的方程為                     ……………（12分）

所以點Q（－2,）                                    ……………… （13分）

所以,

又,所以,即,故直線始終與圓相切……（15分）

19.⑴解：函數的定義域為，（）…… （2分）

若，則，有單調遞增區(qū)間． ……………… （3分）

若，令，得，      

當時，，

當時，．  ……………… （5分）

有單調遞減區(qū)間，單調遞增區(qū)間．   ……………… （6分）

⑵解:(i)若，在上單調遞增，所以．     ……… （7分）

若，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以．     ……………… （9分）

若，在上單調遞減，所以．………… （10分）

綜上所述，    ……………… （12分）

（ii）令．若，無解．      ……………… （13分）

若，解得． ……………… （14分）

若，解得．       ……………… （15分）

故的取值范圍為．    ……………… （16分）

20. (1)數表中第行的數依次所組成數列的通項為，則由題意可得

… （2分）

 (其中為第行數所組成的數列的公差)         (4分)

(2)

第一行的數依次成等差數列，由(1)知，第2行的數也依次成等差數列，依次類推，可知數表中任一行的數(不少于3個)都依次成等差數列.     ……………… （5分）

設第行的數公差為,則，則…………… （6分）

所以

                                           (10 分)

(3)由，可得

所以=   ……………… （11分）

令,則,所以 ………… （13分）

要使得，即，只要=，

，，所以只要,

即只要,所以可以令

則當時，都有.

所以適合題設的一個函數為                   (16分)

第Ⅱ卷（附加題 共40分）

1. （1）設動點P的坐標為,M的坐標為,

則即為所求的軌跡方程.  …………（6分）

（2）由（1）知P的軌跡是以（）為圓心，半徑為的圓，易得RP的最小值為1

.……（10分）

2. ，|x－a|＜l，

，       …………………………………………………5分

= ………………………10分

3. 證明：以為坐標原點長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為

．

（1）解：因

所以，與所成的角余弦值為     …………………………………5分

（2）解：在上取一點，則存在使

要使

為

所求二面角的平面角．

 

…………………………………10分

另解：可以計算兩個平面的法向量分別為：平面ＡＭＣ的法向量，平面ＢＭＣ的法向量為，=，　所求二面角的余弦值為－．

4. （1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到的函數是奇函數”，由題意知               ………………………………4分

（2）ξ可取1，2，3，4．

，

 ；………………8分

 故ξ的分布列為

ξ

1

2

3

4

P

                                                             

 

答：ξ的數學期望為                        ………………………………10分

 


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