2009年盛興中英文學校高三模擬考試

     理科數(shù)學    2009年4月2日

一 選擇題（每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．等差數(shù)列的前項和為，若，，則（　�。�

Ａ．                Ｂ．                Ｃ．                  Ｄ．

2．“”是“”的（　�。�

Ａ．充分而不必要條件              Ｂ．必要而不充分條件

Ｃ．充要條件                            Ｄ．既不充分也不必要條件

3．.若一個底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個棱柱的體積為           

A

 

    • 
 
    
  
  
      
   
      
    
    
      
    
      2
       
       
       
      A       B   36        C  24        D  
      4．設是非零向量，若函數(shù)的圖象是一條直線，則必有（   
      A．            B．            C．         D．
      5對，記函數(shù)的最小值是 
      （A）0        （B）        （C）       （D）3
      6如圖，和分別是雙曲線
      的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（    ）
      A．                B．         C．         D．
      7．若是互不相同的空間直線，是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是（　　）
      Ａ．若，則              Ｂ．若，則
      Ｃ．若，則                            Ｄ．若，則
      8．四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示，盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半．設剩余酒的高度從左到右依次為，，，，則它們的大小關系正確的是（　�。�
       
       
       
       
       
      Ａ．                Ｂ．                
      
Ｃ．                Ｄ．
      二 填空題（每小題5分，共20分；請把答案填在答題卡的相應橫線上）
      9．的值為＿＿＿＿＿＿。
      10 某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有＿＿＿＿＿種（用數(shù)字作答）。
      11．在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是           
  （寫出所有正確結(jié)論的編號）．
      ①矩形；②不是矩形的平行四邊形；
      ③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；
      ④每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體．
      12.如圖，是一個人出差從A城出發(fā)到B城去，沿途可能經(jīng)
      過的城市的示意圖，通過兩城市所需的時間標在兩城市之間的連線上（單位：小時），則此人從A城出發(fā)到達B城所需的最少時間為        
小時。
       
       
       
       
      以下兩個小題中選做一題，三題都選的只計算前兩小題的得分
      。
      13（幾何證明選講選做題）已知圓的半徑為，
      從圓外一點引切線和割線，圓心到   
      的距離為，，則切線的長為  
      ____________．
      14.在極坐標系中，圓心在且過極點的圓的方程為     
      15、已知都是正數(shù)，且則的最小值是       
      三 解答題
      16如圖，函數(shù)其中()的圖象與軸交于點（0，1） 
      （Ⅰ）求的值； 
      （Ⅱ）設是圖象上的最高點，M，N是圖象與軸的交點，求與的夾角。
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
      17．（本小題滿分12分）
      在生產(chǎn)過程中，測得纖維產(chǎn)品的纖度（表示纖維粗細的一種量）共有100個數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如右表：
      （I）在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標系中畫出頻率分布直方圖；
      分組
      頻數(shù)
      頻率
      4
      0.04
      25
      0.25
      30
      0.30
      29
      0.29
      10
      0.10
      2
      0.02
      合計
      100
      1.00
      （II）估計纖度落在中的概率及纖度小于的概率是多少？
      （III）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值
      （例如區(qū)間的中點值是）
      作為代表．據(jù)此，估計纖度的期望．
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
      18. 設函數(shù)f（x）=ax3+bx+c（a≠0）為奇函數(shù)，其圖象在點（1,f（1））處的切線與直線x－6y－7=0垂直，導函數(shù)f＇（x）的最小值為－12.
      （Ⅰ）求a，b，c的值；
      （Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在〔－1,3〕上的最大值和最小值.
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
      19  如圖，三棱柱ABC―A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D為AC的中點.
      


        
 
        
  
  
        
   
        
    
    
        
    
        　
（Ⅱ）求二面角C1―BD―C的余弦值；
           （Ⅲ）在側(cè)棱AA­1上是否存在點P，使得
        CP⊥面BDC1？并證明你的結(jié)論.
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
        20 如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為點在邊所在直線上．
        （I）求邊所在直線的方程；
        （II）求矩形外接圓的方程；
        （III）若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程．
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
        21 已知函數(shù)f（x）=x2－4，設曲線y＝f（x）在點（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點為（xn+1,u）（u,N
+），其中為正實數(shù).
        （Ⅰ）用xx表示xn+1；
        （Ⅱ）若a1=4，記an=lg，證明數(shù)列｛a1｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛xn｝的通項公式；
        （Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項和，證明Tn<3.
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
        2009年高三第二學期模擬考試理科數(shù)學 da an
        一  CAAAC  CDA
        二  9       10         
   11   ①③④⑤    12    48     
              13               14          15     12 
        三解答：
        （16）本題主要考查三角函數(shù)的圖象，已知三角函數(shù)值求角，向量夾角的計算等基礎知識和基本的運算能力。 
        滿分14分。 
        解：（Ⅰ）因為函數(shù)圖象過點（0，1） 
        所以 ,即 
        因為所以.
        （Ⅱ）由函數(shù)及其圖象，得
        
 
        所以 從而
                      

         
        17．本小題主要考查頻率分布直方圖、概率、期望等概念和用樣本頻率估計總體分布的統(tǒng)計方法，考查運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力．
        解：（Ⅰ）
        （Ⅱ）纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為．
        （Ⅲ）總體數(shù)據(jù)的期望約為
        


        
 
        
  
 
        
 
        
  
  
 
        

        

 
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         18 （Ⅰ）∵為奇函數(shù)，
        ∴
        即
        ∴
        ∵的最小值為
        ∴
        又直線的斜率為
        因此，
        ∴，，．
        （Ⅱ）．
        　　　，列表如下：
        極大
        極小
        　　　所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和
        ∵，，
        ∴在上的最大值是，最小值是．
        20解：（I）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為．
        又因為點在直線上，
        所以邊所在直線的方程為．
        ．
        （II）由解得點的坐標為，
        因為矩形兩條對角線的交點為．
        所以為矩形外接圓的圓心．
        又．
        從而矩形外接圓的方程為．
        （III）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，
        所以，
        即．
        故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支．
        因為實半軸長，半焦距．
        所以虛半軸長．
        從而動圓的圓心的軌跡方程為
        21（Ⅰ）由題可得．
        所以曲線在點處的切線方程是：．
        即．
        令，得．
        即．
        顯然，∴．
        （Ⅱ）由，知，同理．
        　　　故．
        從而，即．所以，數(shù)列成等比數(shù)列．
        故．
        即．
        從而
        所以
        （Ⅲ）由（Ⅱ）知，
        ∴
        ∴
        當時，顯然．
        當時，
        ∴
        ．
        　　　綜上，． 
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
        
				
	
        
		
        


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