浙江省臺州市2009屆高三第二次調(diào)考試卷(數(shù)學理) 2009.4
命題:陳傳熙(玉環(huán)縣玉城中學) 許彪(臺州中學)
審卷:李繼選(臺州一中)
注意:本卷考試時間120分鐘,請考生將所有題目都做在答題卷上.
參考公式:
如果事件,
互斥,那么
棱柱的體積公式
如果事件,
相互獨立,那么
其中
表示棱柱的底面積,
表示棱柱的高
棱錐的體積公式
在次獨立重復試驗中事件
恰好
發(fā)生次的概率是
,
其中
表示棱錐的底面積,
表示棱錐的高
其中表示在一次試驗中事件
發(fā)生的概率 棱臺的體積公式
球的表面積公式
球的體積公式 其中
分別表示棱臺的上底、下底面積,
其中表示球的半徑
表示棱臺的高
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.若集合,
,則集合
不可能是
(A) (B)
(C)
(D)
2.在的展開式中,常數(shù)項為
(A)-28 (B)-70 (C)70 (D)28
3.已知兩條不同的直線,
與三個不同的平面
,
,
,滿足
,
,
,
,那么必有
(A),
(B)
,
(C),
(D)
,
4.在等比數(shù)列中,
,
,
,則
(A)16 (B)27 (C)36 (D)81
5.已知均為實數(shù),則“
”是“關(guān)于
一元二次不等式
的解集為
”的
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
6.在一張矩形紙片上,畫有一個圓(圓心為O)和一個定點F(F在圓外).在圓上任取一點M,將紙片折疊使M與點F重合,得到折痕CD.設直線CD與直線OM交于點P,則點P的軌跡為
(A)雙曲線 (B)橢圓 (C)圓 (D)拋物線
7.若對,
,使
≤
成立,則
(A)
(B)
(C)
(D)
8.如圖,一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖都是面積為
,且一個內(nèi)角為
的菱形,俯視圖為正方形,那么這個幾何體的表面積為
(A)
(B)
(C)4
(D)8
9.將三個分別標有A,B,C的小球隨機地放入編號分別為1,2,3,4的四個盒子中,則第1號盒子內(nèi)有球的不同放法的總數(shù)為
(A)27 (B)37 (C)64 (D)81
10.已知向量,
,
滿足
,
,
?
.若對每一確定的
,
的最大值和最小值分別為
,
, 則對任意
,
的最小值是
(A) (B)
(C)
(D)1
二.填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分.
11.已知復數(shù),則
▲ .
12.某路段屬于限速路段,規(guī)定通過該路段的汽車時速不得超過,否則視為違規(guī)扣分.某天,有1000輛汽車經(jīng)過了該路段,經(jīng)過雷達測速得到這些汽車運行時速的頻率分布直方圖如圖所示,則違規(guī)扣分的汽車大約為 ▲
輛.
13.已知等差數(shù)列的前
項和為
,且過點
和
的直線的斜率是4,若
,則
▲ .
14.某個缺水地區(qū)為了提倡居民節(jié)約用水和控制用水浪費現(xiàn)象,實行了水費的分段計價,其計價的流程如圖所示.其中輸入為居民每月的用水量(單位:噸),輸出為相應的水費(單位:元).已知某戶居民某月用水量為噸,則該戶居民用水超過20噸的部分應繳納的水費為 ▲ .
15.已知向量,
,其中
為連續(xù)兩次投擲骰子得到的點數(shù),則
的夾角能成為直角三角形的內(nèi)角的概率是 ▲
.
16.若是定義在R上的奇函數(shù),且當
時,
;當
時,
.則函數(shù)
的零點有 ▲ 個.
17.已知點,如果直線
經(jīng)過點
,那么實數(shù)
的取值范圍是 ▲
.
三.解答題:本大題共5小題,共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
18.(本小題滿分14分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知,且
,求
的值.
19.(本小題滿分14分)
一袋子中有大小、質(zhì)量均相同的10個小球,其中標記“開”字的小球有5個,標記“心”字的小球有3個,標記“樂”字的小球有2個.從中任意摸出1個球確定標記后放回袋中,再從中任取1個球.不斷重復以上操作,最多取3次,并規(guī)定若取出“樂”字球,則停止摸球.求:
(Ⅰ)恰好摸到2個“心”字球的概率;
(Ⅱ)摸球次數(shù)的概率分布列和數(shù)學期望.
20.(本小題滿分14分)
如圖,在三棱柱中,
,頂點
在
底面上的射影恰為B點,且
.
(Ⅰ)分別求出與底面
,棱BC所成的角;
(Ⅱ)在棱上確定一點P,使
,并求出
二面角的平面角的余弦值.
21.(本小題滿分15分)
已知橢圓的離心率為
,橢圓上的點到焦點的最小距離為1.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓
交于
兩點,且
(
為坐標原點),
于
點.試求點
的軌跡方程.
22.(本小題滿分15分)
已知函數(shù),
,其中無理數(shù)
.
(Ⅰ)若,求證:
;
(Ⅱ)若在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù),求
的取值范圍;
(Ⅲ)對于區(qū)間(1,2)中的任意常數(shù),是否存在
使
成立?若
存在,求出符合條件的一個;否則,說明理由.
數(shù) 學(理科) 2009.4
一、選擇題:本大題共有10小題,每小題5分,共50分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
B
A
C
C
B
B
二、填空題:本大題共有7小題,每小題4分,共28分.
11. -1 12. 110 13. 78 14. 15.
16.
7 17.
三.解答題:本大題共5小題,共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
18.(Ⅰ)解:.……………………… 4分
由,解得
.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
.…………… 7分
(Ⅱ)解:由,得
.故
.……………… 10分
于是有 ,或
,
即或
.因
,故
.……………… 14分
19.(Ⅰ)解:恰好摸到兩個“心”字球的取法共有4種情形:
開心心,心開心,心心開,心心樂.
則恰好摸到2個“心”字球的概率是
.………………………………………6分
(Ⅱ)解:,
則 ,
,
.…………………………………………10分
故取球次數(shù)的分布列為
1
2
3
.…………………………………………………14分
20.(Ⅰ)解:因在底面
上的射影恰為B點,則
⊥底面
.
所以就是
與底面
所成的角.
因,故
,
即與底面
所成的角是
.……………………………………………3分
如圖,以A為原點建立空間直角坐標系,則
,
,
.
則,
故與棱BC所成的角是
.…………………………………………………7分
(Ⅱ)解:設,則
.于是
(
舍去),
則P為棱的中點,其坐標為
.…………………………………………9分
設平面的法向量為
,則
,故
.…………………11分
而平面的法向量是
,
則,
故二面角的平面角的余弦值是
.………………………………14分
21.(Ⅰ)解:由題意知:,
,
,解得
.
故橢圓的方程為.…………………………………………………5分
(Ⅱ)解:設,
⑴若軸,可設
,因
,則
.
由,得
,即
.
若軸,可設
,同理可得
.……………………7分
⑵當直線的斜率存在且不為0時,設
,
由,消去
得:
.
則.………………………………………9分
.
由,知
.
故 ,即
(記為①).…………11分
由,可知直線
的方程為
.
聯(lián)立方程組,得
(記為②).……………………13分
將②代入①,化簡得.
綜合⑴、⑵,可知點的軌跡方程為
.………………………15分
22.(Ⅰ)證明:當時,
.令
,則
.
若,
遞增;若
,
遞減,
則是
的極(最)大值點.于是
,即
.故當
時,有
.………5分
(Ⅱ)解:對求導,得
.
①若,
,則
在
上單調(diào)遞減,故
合題意.
②若,
.
則必須,故當
時,
在
上單調(diào)遞增.
③若,
的對稱軸
,則必須
,
故當時,
在
上單調(diào)遞減.
綜合上述,的取值范圍是
.………………………………10分
(Ⅲ)解:令.則問題等價于
找一個使
成立,故只需滿足函數(shù)的最小值
即可.
因,
而,
故當時,
,
遞減;當
時,
,
遞增.
于是,.
與上述要求相矛盾,故不存在符合條件的
.……………………15分
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