黑龍江省哈爾濱市第六中學2009屆高三第一次模擬考試
數學文科試卷
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ 卷(非選擇題)兩部分,滿分150分,考試用時120分鐘;
第Ⅰ卷(選擇題 滿分60分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的).
1.已知集合,則
為 ( )
A. B.
C.
D.
2.函數的遞減區(qū)間為
( )
A. B.
C.
D.
3.函數的圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是 ( )
A、 B、
C、
D、
4.已知向量,
(1,
),則
的最小值是
( )
A.1 B. C.
D.2
5.已知數列為等差數列,且
,則
( )
A.
B.
C.
D.
6.下面給出四個命題:
① 直線與平面
內兩直線都垂直,則
;
② 經過直線有且僅有一個平面垂直于直線
;
③ 過平面外兩點,有且只有一個平面與
垂直;
④ 直線同時垂直于平面
、
,則
∥
;其中正確的命題個數為 ( )
A、0 B、
7.一次文藝演出中,需要給舞臺上方安裝一排完全相同的彩燈共15只,以不同的點亮方式增加舞臺
效果,設計者按照每次點亮時,恰好有6只是關的,且相鄰的燈不能同時被關掉,兩端的燈必須點
亮的要求進行設計,那么不同點亮方式的種數是 ( )
A.28 B.
8.直線與圓
的位置關系是
( )
A.相交 B.相離 C.相切 D.與、
的取值有關
9.已知x,y滿足,
的最大值為
,最小值為
,
則a的范圍為 ( )
A B
C
D
10.函數是偶函數,則曲線
處的切線方程
是 ( )
A. B.
C.
D.
11.橢圓的中心、右焦點、右頂點、右準線與
軸的交點依次
為,則
的最大值為
( )
A. B.
C.
D.不能確定
12.如圖,已知平面平面
,
、
是平面
與平面
的交線上的兩個定點,
,且
,
,
,
,
,在平面
內有一個動點
,使得
,則
的面積的最大值是
( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷 (非選擇題 滿分90分)
把答案填寫在答題紙相應位置上.
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.二項式的展開式中常數項為 ;
14.在四面體ABCD中,三組對棱棱長分別相等且依次為
、
、5,則此四面體ABCD的外接球的半徑R為 ;
15.已知分別為雙曲線
的左右焦點,
為雙曲線左支上的
一點,若,則雙曲線的離心率的取值范圍是
;
16.對于函數, 給出下列命題:
① 存在, 使
;
② 存在, 使
恒成立;
③ 存在, 使函數
的圖象關于y軸對稱;
④ 函數的圖象關于點
對稱;
⑤ 若, 則
;
其中正確命題的序號是 ;
三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.(本題滿分10分)
在中,角
的對邊分別為
,
,
,且
;
(1)求角的大��;
(2)當取最大值時,求角
的大�。�
18. (本題滿分12分)
在教室內有10名學生,分別佩帶著從1號到10號的�;�,任意選3人記錄其校徽的號碼;
(1)求最小號碼為5的概率;
(2)求3個號碼中至多有一個偶數的概率;
(3)求3個號碼之和不超過9的概率;
19. (本小題滿分12分)
如圖:直平行六面體,底面ABCD是邊長為
(1)求證:平面⊥平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求點到平面的距離;
20. (本題滿分12分)
設函數,
,當
時,
取得極值;
(1) 求的值,并判斷
是函數
的極大值還是極小值;
(2) 當時,函數
與
的圖象有兩個公共點,求
的取值范圍;
21. (本題滿分12分)
已知數列中,
,且
;
(1)求證:;
(2)設,
是數列
的前
項和,求
的解析式;
(3)求證:不等式對于
恒成立;((3)問只理科生做,文科生不做)
22.(本題滿分12分)
在△ABC中,,B是橢圓
的上頂點,l是雙曲線
位于x軸下方的準線,當AC在直線l上運動時.
(1)求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程;
(2)過定點F(0,)作互相垂直的直線l1、l2,分別交軌跡E于M、N和R、Q;
求四邊形MRNQ的面積的最小值;
哈爾濱市第六中學2009屆高三第一次模擬考試
文科數學試卷答案
三、解答題:
17.(本題滿分10分)
在中,角
的對邊分別為
,
,
,且
;
⑴求角的大��;
⑵當取最大值時,求角
的大小;
解:⑴由,得
,從而
由正弦定理得
,
,
(4分)
⑵
由得,
時,
即時,
取最大值
(10分)
18. (本題滿分12分)
在教室內有10名學生,分別佩帶著從1號到10號的�;�,任意選3人記錄其�;盏奶柎a;
(1)求最小號碼為5的概率;
(2)求3個號碼中至多有一個偶數的概率;
(3)求3個號碼之和不超過9的概率.
(1) 解:從10人中任取3人,共有等可能結果種,最小號碼為5,相當于從6,7,8,9,10共5個中任取2個,則共有
種結果,則最小號碼為5的概率為:
4分
(2) 解:選出3個號碼中至多有1個偶數包括沒有偶數和1個偶數兩種情況,
取法共有種,所以滿足條件的概率為:
.
8分
(3) 解:三個號碼之和不超過9的可能結果為(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),
(2,3,4),(1,3,4),(1,3,5),則所求概率為:.
12分
19.(本大題滿分12分)
如圖:直平行六面體,底面ABCD是邊長為
(1)求證:平面⊥平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求點到平面的距離;
(I)證明:連結BD,在菱形ABCD中:∠BAD=60°
∴△ABD為正三角形 ∵E為AB中點,∴ED⊥AB
在直六面體中:平面⊥平面ABCD且交于AB
∵面ABCD ∴ED⊥面 ∴平面⊥平面………3分
(II)解:(解法一)由(I)知:ED⊥面 ∵面,∴
直平行六面體中:⊥面ABCD 由三垂線定理的逆定理知:AE⊥ED
∴∠A1EA為二面角的平面角 ∴
取中點F,連EF、,則:
在直平行六面體中:
∴E、F、C1、D四點共面 ∵ED⊥面ABB
∴∠A1EF為二面角的平面角………………5分
在中:
在中:
在中:………………7分
∴在中,
∴二面角的余弦值為………………8分
(解法二)由已知得:二面角為
可證得:∠C1DC為二面角的平面角 求得:
故二面角的大小為
所以,二面角的余弦值為 ………………8分
(III)過F作FG⊥A1E交于G點
∵平面A1ED⊥平面ABB
∴FG⊥面,即:FG是點F到平面A1ED的距離;
在中:
;
且E、D面 ∴C1到平面的距離為:……12分
20. (本大題滿分12分)
設函數,
,當
時,
取得極值。
(1)求的值,并判斷
是函數
的極大值還是極小值;
(2)當時,函數
與
的圖象有兩個公共點,求
的取值范圍;
解:(1)由題意
當
時,
取得極值,
即
此時當時,
,當
時,
,
是函數
的極小值;
4分
(2)設,則
,
設,
,令
解得
或
, 列表如下:
4
__
0
+
函數
在
和
上是增函數,在
上是減函數;
當時,
有極大值
;當
時,
有極小值
;
函數
與
的圖象有兩個公共點,
函數
與
的圖象有兩個公共點
或
12分
21. (本題滿分12分)
已知數列中,
,且
(1)求證:;
(2)設,
是數列
的前
項和,求
的解析式;
(3)求證:不等式對于
恒成立。
(1),
又因為,則
,即
,又
,
,
…………………………………….4分
(2),
…….6分
因為,所以當
時,
….8分
當時,
,①
,②
①-②:,
.綜上所述,
……………12分
22.(本題滿分12分)
在△ABC中,,B是橢圓
的上頂點,l是雙曲線
位于x軸下方的準線,當AC在直線l上運動時.
(1) 求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程;
(2) 過定點F(0,)作互相垂直的直線l1、l2,分別交軌跡E于M、N和R、Q.
求四邊形MRNQ的面積的最小值.
(1)解:(解法一)由橢圓方程及雙曲線方程
可得點B(0,2),
直線l的方程是.
,且AC在直線l上運動.
可設,
則AC的垂直平分線方程為 ①
AB的垂直平分線方程為 ②
∵P是△ABC的外接圓圓心,點P的坐標(x,y)滿足方程①和②.
由①和②聯(lián)立消去m得:,即
.
故圓心P的軌跡E的方程為
6分
(解法二)利用直線被圓截得的弦長公式(勾股定理)求軌跡方程也可;
(2)解:如圖,直線l1和l2的斜率存在且不為零,設l1的方程為
∵l1⊥l2,∴l(xiāng)2的方程為由
得
,∴直線l1與軌跡E交于兩點.
設M(x1,y1), N(x2,y2),則
∴
同理可得:
9分
∴四邊形MRNQ的面積
≥
當且僅當,即
時,等號成立.故四邊形MRNQ的面積的最小值為72.12分
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