△ABC中，∠C = 90°，AB = 1，tan A =，過AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于E，PF⊥BC

于 F，E、F是垂足，則EF的最小值等于            ．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=，D為AB邊上一點(diǎn)，DE⊥CD于D，交直線AC于E，過點(diǎn)A作AF⊥AB交直線DE于F．
（1）如圖（1），求證：△AEF∽△BCD；
（2）如圖（2），若CD=DF，求的值；
（3）如圖（3），若將題干中的點(diǎn)D的位置改為在BA的延長線上，其他的條件不變，且滿足CD=DF，AB=13cm．請直接寫出此時(shí)AE=______cm．

如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”

（1）請用直尺與圓規(guī)畫一個(gè)“好玩三角形”；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a, ∠ABC=2β，點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿折線AB－BC和AD－DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P所經(jīng)過的路程為s
①當(dāng)β=45°時(shí)，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；
②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過程中，有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”？請直接寫出tanβ的取值范圍。
（4）本小題為選做題
依據(jù)（3）中的條件，提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是“好玩三角形”的個(gè)數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1）。