Question

【題目】在矩形ABCD中，點E為AD的中點，連接BE、AC，AC⊥BE于點F，連接DF，對于結論①CF=2AF②△AEF∽△CAB③DF=DC④tan∠CAD=正確的有_______________．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

只要證明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可判斷②正誤；由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AE和CF的關系即可判斷①正誤；只要證明DM垂直平分CF，即可證明③；設AE=a，AB=b，則AD=2a，由△BAE∽△ADC，求出a和b的關系，可得tan∠CAD的值即可判斷④的正誤，

解：如圖，過D作DM∥BE交AC于N，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于點F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故②正確；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴，
∴CF=2AF，故①正確；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正確；
設AE=a，AB=b，則AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有，即，
∴tan∠CAD=．故④不正確；
∴正確的有①②③；

故答案為：①②③.