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【題目】已知，菱形ABCD中，E，F分別是對角線BD和邊BC上一點，且滿足∠EAF=∠ABD=．

（1）如圖（1），當=45°時，求證：AF=AE

（2）如圖（2），探究AF與AE的數量關系（用含的銳角三角函數表示）

【答案】（1）見解析；（2）AF=2AEcos

【解析】

（1）連接AC，證明△AFC∽△AED，由相似三角形的性質，即可得到答案；

（2）設AF與BE交于點G，作EH⊥AF于H，由菱形的性質，以及相似三角形的判定和性質，得到AE=EF，由三角函數即可得到答案．

解：（1）連結AC，

當=45°時，

∴∠EAF=∠ABD=45°，

∴四邊形ABCD正方形，

∴∠ACF=∠ADE=∠DAC=45°，

∴∠EAF=∠DAC=45°，

∴∠CAF=∠DAE，

∴△AFC∽△AED ，

∴

∴；

（2）設AF與BE交于點G，

∵∠EAF=∠ABD=

又菱形ABCD

∴∠EAF=∠ABD=∠FBG=

∵∠BGF=∠AGE

∴△AGE∽△BGF

∴，

∵∠BGA=∠FGE

∴△AGB∽△EGF

∴∠EFG=∠ABG=

∴AE=EF

作EH⊥AF于H

∵，

∴AH=AEcos

∴ AF=2AEcos；

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】某中學開展“陽光體育一小時”活動，按學校實際情況，決定開設A：踢毽子；B：籃球；C：跳繩；D：乒乓球四種運動項目．為了解學生最喜歡哪一種運動項目，隨機抽取了一部分學生進行調查，并將調查結果繪制成如下兩個統(tǒng)計圖．請結合圖中的信息解答下列問題：

（1）本次共調查了________名學生；

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“B”所在扇形的圓心角是________度；

（3）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（4）若該中學有1200名學生，喜歡籃球運動的學生約有________名．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】已知，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，直線與軸的正半軸交于點A，與軸的負半軸交于點B， ，過點A作軸的垂線與過點O的直線相交于點C，直線OC的解析式為，過點C作軸，垂足為．

（1）如圖1，求直線的解析式；

（2）如圖2，點N在線段上，連接ON，點P在線段ON上，過P點作軸，垂足為D，交OC于點E，若，求的值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點F為線段AB上一點，連接OF，過點F作OF的垂線交線段AC于點Q，連接BQ，過點F作軸的平行線交BQ于點G，連接PF交軸于點H，連接EH，若，求點P的坐標．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=ax2﹣2ax+c的圖象經過點A（﹣1，1），將A點向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點B，直線y=2x+m經過點B，與y軸交于點C．

（1）求點B，C的坐標；

（2）求二次函數圖象的對稱軸；

（3）若二次函數y=ax2﹣2ax+c（﹣1＜x＜2）的圖象與射線CB恰有一個公共點，結合函數圖象，直接寫出a的取值范圍．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點D是AB的中點，點P是AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），矩形PECF的頂點E，F分別在BC，AC上．

（1）探究DE與DF的關系，并給出證明；

（2）當點P滿足什么條件時，線段EF的長最短？說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖．要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角一般要滿足，現有一架長的梯子．

（1）使用這架梯子最高可以安全攀上多高的墻（結果保留小數點后一位）？

（2）當梯子底端距離墻面時，等于多少度（結果保留小數點后一位）？此時人是否能夠安全使用這架梯子？

（參考數據：，，，，，）

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】某高速公路管理部門工作人員在對某段高速公路進行安全巡檢過程中，發(fā)現該高速公路旁的一斜坡存在落石隱患．該斜坡橫斷面示意圖如圖所示，水平線，點A、B分別在、上，斜坡AB的長為18米，過點B作于點C，且線段AC的長為米．

（1）求該斜坡的坡高BC；（結果用最簡根式表示）

（2）為降低落石風險，該管理部門計劃對該斜坡進行改造，改造后的斜坡坡腳為60°，過點M作于點N，求改造后的斜坡長度比改造前的斜坡長度增加了多少米？

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在△ABC中，，D、E分別是邊AB、BC上的動點，且，連結AD、AE，點M、N、P分別是CD、AE、AC的中點，設．

（1）觀察猜想

①在求的值時，小明運用從特殊到一般的方法，先令，解題思路如下：

如圖1，先由，得到，再由中位線的性質得到，

，進而得出△PMN為等邊三角形，∴．

②如圖2，當，仿照小明的思路求的值；

（2）探究證明

如圖3，試猜想的值是否與的度數有關，若有關，請用含的式子表示出，若無關，請說明理由；

（3）拓展應用

如圖4，，點D、E分別是射線AB、CB上的動點，且，點M、N、P分別是線段CD、AE、AC的中點，當時，請直接寫出MN的長．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）求證：四邊形OEFG是矩形；

（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．

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