Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，點是的中點，，交正方形外角的平分線于，連接、、，求證：

；

；

是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）取AB中點M，連接ME，利用正方形的性質和等腰直角三角形的性質，證明△AME△ECF，即可得出結論；

（2）利用（1）圖，△AEF是等腰直角三角形，繼而得到∠2=∠4、∠ACF=∠B，即可證得結論；

（3）過F分別作FN⊥BC的延長線于N，證得△FNE△EBA，得出△FCN是等腰直角三角形，易證四邊形FNCP為矩形（正方形），求得∠FDC=∠DCF，得出結論.

如圖，

取中點，連接，

則正方形邊長，

∴在中，，

∴，，

∵，

∴

∴，

∵是正方形外角的平分線，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴；

如圖，∵，，

∴是等腰直角三角形，

∴，即，

∵為正方形的對角線，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

∴；

如圖，

設正方形邊長為，則，，

∵是等腰直角三角形，

∴，

過作的延長線于，

則，

又由知，，，

在和中，

，

∴，

∴，

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

∴四邊形為矩形（正方形），

∴，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形．