Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)C（1，1）的拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）頂點(diǎn)為M，與x軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)．

（1）如圖1，連接OC，將線段OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得C落在y軸的正半軸上，求線段OC過(guò)的面積；

（2）如圖2，延長(zhǎng)線段OC至N，使得ON＝OC，若∠ONA＝∠OBN且tan∠BAM＝，求拋物線的解析式；

（3）如圖3，已知以直線x＝為對(duì)稱軸的拋物線y＝ax2+bx+c交y軸于（0，5），交直線l：y＝kx+m（k＞0）于C，D兩點(diǎn)，若在x軸上有且僅有一點(diǎn)P，使∠CPD＝90°，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝2x2﹣9x+8；（3）k＝．

【解析】

（1）線段OC過(guò)的面積＝×π×（）2＝；

（2）△ONA∽△OBN，則OAOB＝ON2＝4，即mn＝4…①，則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣m）（x﹣n），MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，AH═﹣m，tan∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，化簡(jiǎn)得：a（n﹣m）＝…②，將（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化簡(jiǎn)得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，聯(lián)立①②③即可求解；

（3）拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣5x+5；設(shè)點(diǎn)D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而點(diǎn)C（1，1），則k＝＝m﹣4，若在x軸上有且僅有一點(diǎn)P，使∠CPD＝90°，則過(guò)CD中點(diǎn)的圓R與x軸相切，即可求解．

（1）線段OC過(guò)的面積＝×π×（）2＝；

（2）ON＝OC＝4，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（m，0）、（n，0），

∠ONA＝∠OBN，則△ONA∽△OBN，則OAOB＝ON2＝4，即mn＝4…①，

則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣m）（x﹣n），

過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB交AB于點(diǎn)H，函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝（m+n），

則MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，

AH＝xM﹣xA＝﹣m

tan∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，

化簡(jiǎn)得：a（n﹣m）＝…②，

將（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化簡(jiǎn)得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，

聯(lián)立①②③并解得：m＝，n＝，a＝2，

則拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣m）（x﹣n）＝a（x2﹣mx﹣nx+mn）＝2x2﹣9x+8；

（3）由題意得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣5x+5；

設(shè)點(diǎn)D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而點(diǎn)C（1，1），

則k＝＝m﹣4，

若在x軸上有且僅有一點(diǎn)P，使∠CPD＝90°，則過(guò)CD中點(diǎn)的圓R與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為P，

則點(diǎn)H（，），則HP＝HC，

即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，

化簡(jiǎn)得：3m2﹣18m+19＝0，

解得：m＝3+（不合題意的值已舍去），

k＝m﹣4＝．