【題目】如圖①已知拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)的圖象與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè)),與y的正半軸交于點C,連結(jié)BC,二次函數(shù)的對稱軸與x軸的交點為E.
(1)拋物線的對稱軸與x軸的交點E坐標為_____,點A的坐標為_____;
(2)若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切,試求出拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,如圖②Q(m,0)是x的正半軸上一點,過點Q作y軸的平行線,與直線BC交于點M,與拋物線交于點N,連結(jié)CN,將△CMN沿CN翻折,M的對應(yīng)點為M′.在圖②中探究:是否存在點Q,使得M′恰好落在y軸上?若存在,請求出Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(1.5,0) (-1,0)
(2);
(3)存在,.
【解析】
(1)由拋物線的對稱軸為直線求出拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)的對稱軸方程,即可求得點E的坐標;在y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)令y=0可得關(guān)于x的方程ax2﹣3ax﹣4a=0,解方程即可求得點A的坐標;
(2)如圖1,設(shè)⊙E與直線BC相切于點D,連接DE,則DE⊥BC,結(jié)合(1)可得DE=OE=,EB=,OC=-4a,在Rt△BDE中由勾股定理可得BD=2,這樣由tan∠OBC=即可列出關(guān)于a的方程,解方程求得a的值即可得到拋物線的解析式;
(3)由折疊的性質(zhì)和MN∥y軸可得∠MCN=∠M′CN=∠MNC,由此可得CM=MN,由點B的坐標為(4,0),點C的坐標為(0,3)可得線段BC=5,直線BC的解析式為y=﹣x+3,由此即可得到M、N的坐標分別為(m,﹣m+3)、(m,﹣m2+m+3),作MF⊥OC于F,這樣由sin∠BCO=即可解得CM=m,然后分點N在直線BC的上方和下方兩種情況用含m的代數(shù)式表達出MN的長度,結(jié)合MN=CM即可列出關(guān)于m的方程,解方程即可求得對應(yīng)的m的值,從而得到對應(yīng)的點Q的坐標.
(1)∵對稱軸x=,
∴點E坐標(,0),
令y=0,則有ax2﹣3ax﹣4a=0,
∴x=﹣1或4,
∴點A坐標(﹣1,0).
故答案分別為(,0),(﹣1,0).
(2)如圖①中,設(shè)⊙E與直線BC相切于點D,連接DE,則DE⊥BC,
∵DE=OE=,EB=,OC=﹣4a,
∴DB=,
∵tan∠OBC=,
∴,解得a=,
∴拋物線解析式為y=.
(3)如圖②中,由題意∠M′CN=∠NCB,
∵MN∥OM′,
∴∠M′CN=∠CNM,
∴MN=CM,
∵點B的坐標為(4,0),點C的坐標為(0,3),
∴ 直線BC解析式為y=﹣x+3,BC=5,
∴M(m,﹣m+3),N(m,﹣m2+m+3),作MF⊥OC于F,
∵sin∠BCO=,
∴,
∴CM=m,
①當N在直線BC上方時,﹣x2+x+3﹣(﹣x+3)=m,
解得:m=或0(舍棄),
∴Q1(,0).
②當N在直線BC下方時,(﹣m+3)﹣(﹣m2+m+3)=m,
解得m=或0(舍棄),
∴Q2(,0),
綜上所述:點Q坐標為(,0)或(,0).
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【題目】如圖,ABCD的對角線AC、BD相交于點O,OE=OF.
(1)求證:△BOE≌△DOF;
(2)若BD=EF,連接DE、BF,判斷四邊形EBFD的形狀,并說明理由.
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【題目】(2016廣西賀州市)如圖,將線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B′,那么A(﹣2,5)的對應(yīng)點A′的坐標是( 。
A. (2,5) B. (5,2) C. (2,﹣5) D. (5,﹣2)
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【題目】從A地到B地需修一條公路,該工程由甲、乙兩隊共同完成,甲、乙兩隊分別從A地、B地同時開始修路,設(shè)修路的時間為天,未修的路程為米,圖中的折線表示甲、乙兩個工程隊從開始施工到工程結(jié)束的過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系,已知在開始修路5天后,甲工程隊因設(shè)備升級而停工5天,設(shè)備升級后甲工程隊每天修路比原來多,乙隊施工效率始終不變,則設(shè)備升級后甲工程隊每天修路比原來多______米
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【題目】如圖1,已知拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,頂點為D,連接BC
點G是直線BC上方拋物線上一動點不與B、C重合,過點G作y軸的平行線交直線BC于點E,作于點F,點M、N是線段BC上兩個動點,且,連接DM、當的周長最大時,求的最小值;
如圖2,連接BD,點P是線段BD的中點,點Q是線段BC上一動點,連接DQ,將沿PQ翻折,且線段的中點恰好落在線段BQ上,將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到,點T為坐標平面內(nèi)一點,當以點Q、、、T為頂點的四邊形是平行四邊形時,求點T的坐標.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,有下列6個結(jié)論:
①abc<0;
②b<a﹣c;
③4a+2b+c>0;
④2c<3b;
⑤a+b<m(am+b),(m≠1的實數(shù))
⑥2a+b+c>0,其中正確的結(jié)論的有_____.
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【題目】下列說法正確的是
A. 擲一枚均勻的骰子,骰子停止轉(zhuǎn)動后,6點朝上是必然事件
B. 甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次,他們的成績平均數(shù)相同,方差分別是,,則甲的射擊成績較穩(wěn)定
C. “明天降雨的概率為”,表示明天有半天都在降雨
D. 了解一批電視機的使用壽命,適合用普查的方式
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【題目】某食品廠生產(chǎn)一種半成品食材,產(chǎn)量百千克與銷售價格元千克滿足函數(shù)關(guān)系式,從市場反饋的信息發(fā)現(xiàn),該半成品食材的市場需求量百千克與銷售價格元千克滿足一次函數(shù)關(guān)系,如下表:
銷售價格元千克 | 2 | 4 | 10 | |
市場需求量百千克 | 12 | 10 | 4 |
已知按物價部門規(guī)定銷售價格x不低于2元千克且不高于10元千克
求q與x的函數(shù)關(guān)系式;
當產(chǎn)量小于或等于市場需求量時,這種半成品食材能全部售出,求此時x的取值范圍;
當產(chǎn)量大于市場需求量時,只能售出符合市場需求量的半成品食材,剩余的食材由于保質(zhì)期短而只能廢棄若該半成品食材的成本是2元千克.
求廠家獲得的利潤百元與銷售價格x的函數(shù)關(guān)系式;
當廠家獲得的利潤百元隨銷售價格x的上漲而增加時,直接寫出x的取值范圍利潤售價成本
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【題目】隨著柴靜紀錄片《穹頂之下》的播出,全社會對空氣污染問題越來越重視,空氣凈化器的銷量也大增,商社電器從廠家購進了A,B兩種型號的空氣凈化器,已知一臺A型空氣凈化器的進價比一臺B型空氣凈化器的進價多300元,用7500元購進A型空氣凈化器和用6000元購進B型空氣凈化器的臺數(shù)相同.
(1)求一臺A型空氣凈化器和一臺B型空氣凈化器的進價各為多少元?
(2)在銷售過程中,A型空氣凈化器因為凈化能力強,噪音小而更受消費者的歡迎.為了增大B型空氣凈化器的銷量,商社電器決定對B型空氣凈化器進行降價銷售,經(jīng)市場調(diào)查,當B型空氣凈化器的售價為1800元時,每天可賣出4臺,在此基礎(chǔ)上,售價每降低50元,每天將多售出1臺,如果每天商社電器銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元,請問商社電器應(yīng)將B型空氣凈化器的售價定為多少元?
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