Question

【題目】如圖1，直線與直線、分別交于點、，與互補(bǔ).

(1)試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖2，與的角平分線交于點，與交于點，點是上一點，且，求證：.

(3)如圖3，在(2)的條件下，連接，是上一點使，作平分，求的度數(shù).

Answer 1

【答案】(1)AB//CD，理由見解析；(2)證明見解析；(3).

【解析】

（1）利用對頂角相等、等量代換可以推知同旁內(nèi)角∠AEF、∠CFE互補(bǔ)，即可證明；

（2）利用（1）中平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理可得∠EPF=90°，即EG⊥PF，再結(jié)合GH⊥EG，即可證明;

（3）利用三角形外角定理、三角形內(nèi)角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由鄰補(bǔ)角的定義、角平分線的定義推知∠QPK=-∠EPK=45°+∠2，最后根據(jù)角與角間的和差關(guān)系即可求解.

(1)，

理由如下：如圖1，

圖1

∵與互補(bǔ)，

∴，

又∵，，

∴，

∴；

(2)如圖2，由(1)知，，

圖2

∴．

又∵與的角平分線交于點，

∴，

∴，即．

∵，

∴；

(3)如圖3，

∵，

.

又∵，

∴．

∴．

∵平分，

∴．

∴．