Question

【題目】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.

(1)探究m取不同值時，二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)情況；

(2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A(x1，0)，B(x2，0)，且x12＋x22＝5，與y軸的交點(diǎn)為C，它的頂點(diǎn)為M，求直線CM的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】答案見解析

【解析】整體分析：

(1)二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)即是一元二次方程x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4=0的根的個數(shù)；(2)由x12＋x22＝5，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，確定m的值，得到點(diǎn)C，M的坐標(biāo)，即可求出直線CM的解析式.

解：（1）根據(jù)題意得，

[－(2m－1)]2-4×1×(m2＋3m＋4)=-16m-15，

當(dāng)-16m-15＞0，即m<，有兩個交點(diǎn)；

當(dāng)-16m-15=0，即m＝，有一個交點(diǎn)；

當(dāng)-16m-15＜0，即m>，無交點(diǎn).

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2=2m－1，x1x2=m2＋3m＋4.

因?yàn)?/span>x12＋x22＝(x1＋x2)2-2x1x2，

所以(2m－1)2-2(m2＋3m＋4)=5，解得m1=6，m2=-1，

因?yàn)?/span>m≤，所以m2=-1，

當(dāng)m=-1時，二次函數(shù)的解析式為y=x2+3x+2,

則二次函數(shù)的解析式為y=x2+3x+2的圖象與y軸的交點(diǎn)C（0，2），頂點(diǎn)M（，-）.

設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+2，則=-，解得x=，

所以y＝x＋2.

所以直線CM的表達(dá)式為y＝x＋2.