Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸分別交于、兩點(diǎn).

（1）求直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線(xiàn)的下方，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，求的最大值；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，且軸，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上、之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)、與分別交于、兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）為定值8，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)直線(xiàn)解析式為，把代入求解即可；設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，代入求解即可；

（2）設(shè)，，則的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，表示出的長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）過(guò)點(diǎn)作軸交軸于，先求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)，則，，，根據(jù)，表示出EF的長(zhǎng)，根據(jù)表示出EG的長(zhǎng)，然后表示出，整理即可求出結(jié)論.

解：（1）設(shè)直線(xiàn)解析式為，由題意可得，解得，

∴直線(xiàn)解析式為，

∵拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，

∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，∴，解得，

∴拋物線(xiàn)為；

（2）設(shè)，，則的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，

∵軸，∴，得，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；

（3）.

理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于，

在中，令可得，解得或，

∴，，

設(shè)，則，，，

∵，∴，

∴，∴，

同理得，

∴，

∴

，

∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值8.