Question

【題目】（1）如圖1，是上一動點，是外一點，在圖中作出最小時的點．

（2）如圖2，中，，，，以點為圓心的的半徑是，是上一動點，在線段上確定點的位置，使的長最小，并求出其最小值．

（3）如圖3，矩形中，，，以為圓心，為半徑作，為上一動點，連接，以為直角邊作，，，試探究四邊形的面積是否有最大或最小值，如果有，請求出最大或最小值，否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）過做于，，交于，這時最短，最短為；（3）有最大值和最小值，四邊形面積最大值是，最小值是．

【解析】

（1）根據(jù)兩點之間線段最短，連接OP與圓交于一點，這點便是要求的A點；

（2）如圖，過做于，，交于，這時最短，分別在線段，上任取點，點，連接，，根據(jù)垂線段最短，可得最短．然后利用勾股定理和面積相等求得PQ和BP的值；

（3）如圖取AB的中點G，連接FG，FC，GC,由△FAG∽△EAD，推出FG: DE=AF: AE=1: 3,因為DE=3，可得FG=1,推出點F的運動軌跡是以G為圓心1為半徑的圓，當GH⊥AC于H交⊙G于F ,GH的反向延長線于⊙G交于F,再利用(2)的結論可知，HF或HF為△AFC的AC邊上的高，HF最小，HF最大，由此可得△ACF面積最小，推出四邊形的面積最小，通過求解得出最小面積；同理可得△ACF面積最大，推出四邊形的最大面積，即可解決問題.

（1）連接線段交于，點即為所求；

證明:如圖1延長PO交⊙O于點B,顯然PB> PA.

如圖2,在⊙O上任取一點C(與點A，B不重合) ,連結PC，OC.
∵PO<PC+OC,
且PO= PA+OA，0A=0C, ∴ PA<PC
∴ PA長是點P與⊙O上各點之間的最短距離.
由此可得：圓外一點與圓上各點之間的最短距離是這點到圓心的距離與半徑的差.

（2）過做于，，交于，這時最短．

理由：如圖3，分別在線段，上任取點，點，連接，，由于，根據(jù)垂線段最短，，，又，所以，即最短．

在中，

，，

，這時．

當在點左側米處時，長最短是．

（3）的面積有最大和最小值．

如圖4，取的中點，連接，．，，

，，，又，，，

，

，，

，，，

點在以為圓心為半徑的圓上運動，

連接，則的面積

過做于，交于，反向延長線交于，

①當在時，面積最小．理由：由（2）知，當在時，最短，這時的邊上的高最小，所以面積有最小值，

在中，，

在中，，

面積有最小值是；

四邊形面積最小值是；

②當在時，最大理由：在上任取異于點的點，作于，作于，連接，則四邊形是矩形，，

在中，，，又，，即所以是的邊上的最大高，所以面積有最大值，

面積有最大值是；

四邊形面積最大值是

綜上所述，四邊形面積最大值是，最小值是．