Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是⊙O的切線，D為切點，OF⊥AD于點E，交CD于點F．

（1）求證：∠ADC=∠AOF；

（2）若sinC=，BD=8，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2．

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)CD是⊙O的切線，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根據(jù)OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根據(jù)OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可證明；

（2）設(shè)半徑為r，根據(jù)在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB為⊙O的直徑，得出∠ADB=90°，再根據(jù)推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行線分線段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF．

（1）證明：連接OD，

∵CD是⊙O的切線，

∴OD⊥CD，

∴∠ADC+∠ODA=90°，

∵OF⊥AD，

∴∠AOF+∠DAO=90°，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠DAO，

∴∠ADC=∠AOF；

（2）設(shè)半徑為r，

在Rt△OCD中，，

∴，

∴，

∵OA=r，

∴AC=OC-OA=2r，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

又∵OF⊥AD，

∴OF∥BD，

∴，

∴OE=4，

∵，

∴，

∴．