Question

如圖，小聰畫了一個矩形ABCD，又取CD的中點E，使BE⊥AC交AC于F，再過F作FG∥AB交AE于G，他又量出AG=4.25cm，CF=3cm．
（1）他通過觀察，猜想：△EGF∽______．并證明；
（2）請你通過計算幫他算出AC的長．

Answer 1

（1）答：△EGF∽△EAB．
證明：∵FG∥AB，
∴∠EGF=∠EAB，∠EFG=∠EBA，
∴△EGF∽△EAB；

（2）解：∵E是CD的中點，矩形的對邊AB=CD，
∴CE=CD=AB，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴=，
∴AF=•CF=2CF=2×3=6cm，
∴AC=AF+CF=6+3=9cm．
分析：（1）根據平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似確定三角形并進行證明；
（2）先求出△ABF和△CEF相似，再根據相似三角形對應邊成比例列式求出AF=2CF，然后再根據AC=AF+CF計算即可得解．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，比較簡單，熟記平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似是解題的關鍵．