Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=5cm，BD=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動，速度為；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DA方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s．過點(diǎn)P作PN∥BC分別交BD，CD于點(diǎn)M,N，連接QM，QN．設(shè)運(yùn)動時間為．解答下列問題：

（1）當(dāng)為何值時，點(diǎn)在線段的垂直平分線上？

（2）設(shè)的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻，使的面積為菱形面積的，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（4）是否存在某一時刻，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，當(dāng)時，的面積為菱形面積的；（4）存在，若時，；若時，；若時，

【解析】

（1）連接，證明得到，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，求出t的值即可；

（2）過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，由菱形的性質(zhì)求出，證明，得，再求出，根據(jù)三角形面積公式即可得出結(jié)論；

（3）假設(shè)存在某一時刻，根據(jù)的面積為菱形面積的列方程求解即可；

（4）分，，三種情況分別求解即可

解：（1）連接

∴∴

∵∴

∴∴∴

若點(diǎn)在線段的垂直平分線上

∴∴∴

∴當(dāng)時，點(diǎn)在線段的垂直平分線上．

（2）過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)．

∵

∴

連接，交于點(diǎn)，根據(jù)題意，

∴

菱形面積：

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∵

∴的高等于

∵四邊形是菱形

∴，

∴

∴

∴與的函數(shù)關(guān)系式是．

（3）假設(shè)存在某一時刻，使的面積為菱形面積的，

則

解得，，（不合題意，舍去）

答：當(dāng)時，的面積為菱形面積的．

（4）若時，

由（2）得

由題意得，，

∴過Q作于點(diǎn)G，

∵，

∴

在中，

∴；

若時，

過N作于J，如圖，

則，

而

∴；

若時，，

∴．