Question

【題目】已知拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn).

（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸，及拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上時(shí)，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的情況下，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使，，三條之中，其中一條是另兩條所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）對(duì)稱軸為直線；點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）；（3）存在.點(diǎn)P的坐標(biāo)是或.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式可求出對(duì)稱軸；根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)圓心為E，連結(jié)，求出OD的長，于是可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可求出拋物線的解析式；

（3）分三種情況逐一畫出圖形進(jìn)行計(jì)算：當(dāng)平分時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為；當(dāng)平分時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為；當(dāng)BD平分時(shí)，不存在這樣的點(diǎn)P.

解：（1）對(duì)稱軸為直線，

∴關(guān)于直線x=-1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）設(shè)圓心為E，連結(jié)，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵，，，

∴,

把x=0，y=代入求得,

∴.

（3）分三種情況討論：

如圖1，當(dāng)平分時(shí)，點(diǎn)即點(diǎn)，

如圖2，當(dāng)平分時(shí)，

∵,

∴,

∴,

∴

∴

∵BP平分

∴

∴，

∴

∴

∴

由點(diǎn)B（1，0）、可求得直線BP的解析式為，

解方程組

得,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

如圖3，當(dāng)BD平分時(shí)，點(diǎn)P在直線上，而直線和拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)、不在第一象限，所以這樣的點(diǎn)不存在.

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是或.