Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3分別與x軸、y交于點(diǎn)B、C；拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），對(duì)稱軸為l1，頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線y=x2+bx+c的解析式．

（2）點(diǎn)M（0，m）為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線l2平行于x軸，與拋物線交于點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），與直線BC交于點(diǎn)N（x3，y3），且x2＞x1＞0．

①結(jié)合函數(shù)的圖象，求x3的取值范圍；

②若三個(gè)點(diǎn)P、Q、N中恰好有一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）①0＜x3＜4，②m的值為或1．

【解析】

（1）由直線y=﹣x+3分別與x軸、y交于點(diǎn)B、C求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再代入y=x2+bx+c求得b、c的值，即可求得拋物線的解析式；（2）①先求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（2，﹣1），當(dāng)直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)求得m=﹣1；當(dāng)直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)求得m=3，再由x2＞x1＞0，可得﹣1＜y3＜3，即可﹣1＜﹣x3+3＜3，所以0＜x3＜4；②分當(dāng)直線l2在x軸的下方時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)P、N之間和當(dāng)直線l2在x軸的上方時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)P、Q之間兩種情況求m的值即可.

（1）在y=﹣x+3中，令x=0，則y=3；

令y=0，則x=3；得B（3，0），C（0，3），

將點(diǎn)B（3，0），C（0，3）的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c

得：，解得

∴y=x2﹣4x+3；

（2）∵直線l2平行于x軸，

∴y1=y2=y3=m，

①如圖①，y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴頂點(diǎn)為D（2，﹣1），

當(dāng)直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，m=﹣1；

當(dāng)直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，m=3

∵x2＞x1＞0，

∴﹣1＜y3＜3，

即﹣1＜﹣x3+3＜3，

得0＜x3＜4，

②如圖①，當(dāng)直線l2在x軸的下方時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)P、N之間，

若三個(gè)點(diǎn)P、Q、N中恰好有一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則得PQ=QN．

∵x2＞x1＞0，

∴x3﹣x2=x2﹣x1，

即 x3=2x2﹣x1，

∵l2∥x軸，即PQ∥x軸，

∴點(diǎn)P、Q關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸l1對(duì)稱，

又拋物線的對(duì)稱軸l1為x=2，

∴2﹣x1=x2﹣2，

即x1=4﹣x2，

∴x3=3x2﹣4，

將點(diǎn)Q（x2，y2）的坐標(biāo)代入y=x2﹣4x+3

得y2=x22﹣4x2+3，又y2=y3=﹣x3+3

∴x22﹣4x2+3=﹣x3+3，

∴x22﹣4x2=﹣（3x2﹣4）

即 x22﹣x2﹣4=0，解得x2=，（負(fù)值已舍去），

∴m=（）2﹣4×+3=

如圖②，當(dāng)直線l2在x軸的上方時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)P、Q之間，

若三個(gè)點(diǎn)P、Q、N中恰好有一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則得PN=NQ．

由上可得點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l1對(duì)稱，

∴點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸l1：x=2，

又點(diǎn)N在直線y=﹣x+3上，

∴y3=﹣2+3=1，即m=1．

故m的值為或1．