Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2,.過B作BE//AC.

(1)求BE與AC之間的距離；

(2)F為BE上一點，連接AF，過C作CG//AF交BE于G.若∠FAB=15°,

①依題意補全圖形;

②求證:四邊形AFGC是菱形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②見解析.

【解析】

（1）連結(jié)BD交AC于O點，如圖，利用正方形的性質(zhì)得到AC⊥BD，BO＝，由于BE∥AC，于是可判斷BE與AC之間的距離為；

（2）①根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)圖形；

②設(shè)OB與AF交于點H，先證明四邊形AFGC是平行四邊形，再計算出AH＝，HF＝，從而得到AF＝AH＋HF＝2＝AC，于是可判斷四邊形AFGC是菱形．

解：（1）連結(jié)BD交AC于O點，如圖，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AC⊥BD，BO＝BD＝×2＝，

∵BE∥AC，

∴OB⊥BE，

∴BE與AC之間的距離為，

故答案為：；

（2）①如圖，四邊形AFGC為所作；

②設(shè)OB與AF交于點H，

∵CG∥AF，AC∥FG，

∴四邊形AFGC是平行四邊形，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴OA＝OB＝，AC＝2，∠AOB＝90°，∠OAB＝45°，

∵∠FAB＝15°，

∴∠OAF＝30°，

在Rt△OAH中，OH＝OA＝，AH＝2OH＝，

∴BH＝OH＝，

∵AC∥BE，

∴∠BFA＝∠OAF＝30°，

∴HF＝2BH＝2（）＝2，

∴AF＝AH＋HF＝＋2＝2，

∴AC＝AF，

∴四邊形AFGC是菱形．