Question

【題目】點(diǎn)P到圖形Ω（可以是線(xiàn)段、三角形、圓或不規(guī)則圖形等）的距離是指:點(diǎn)P與圖形Ω中所有點(diǎn)連接的線(xiàn)段中最短線(xiàn)段的長(zhǎng)度.如圖①中的兩個(gè)虛線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度都表示點(diǎn)P到圖形Ω的距離.

如圖②，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向x軸的正方向運(yùn)動(dòng)了t秒.

（1）當(dāng)t=0時(shí)，求點(diǎn)P到△ABC的距離；

（2）當(dāng)點(diǎn)P到△ABC的距離等于線(xiàn)段AP的長(zhǎng)度時(shí)，求t的范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)P到△ABC的距離大于時(shí)，求t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，P到△ABC的距離等于線(xiàn)段PA的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)t>5時(shí)，點(diǎn)P到△ABC的距離大于

【解析】

（1）作AM⊥BC，ON⊥AB，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)求出△AMB為等腰直角三角形，繼而求出∠OBN=45°，即可得到ON的長(zhǎng)度；

（2）過(guò)點(diǎn)A分別作AB與AC的垂線(xiàn)，與x軸分別交于點(diǎn)D、E，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到D、E之間時(shí)，P到△ABC的距離等于PA的長(zhǎng)度，求得AD、AE的長(zhǎng)度即可得到取值范圍；

（3）由（1）可知P點(diǎn)只能在E點(diǎn)右側(cè)，作PG⊥AC，作GH⊥x軸，利用三角形相似求出G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，且HP=2FE=1，由此求出t的取值范圍.

（1）作AM⊥BC，ON⊥AB，

由得BC∥x軸，

∴AM=BM=2

∴△AMB為等腰直角三角形，∠ABM=45°

∴∠OBN=45°

∴

（2）作AF⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A分別作AB與AC的垂線(xiàn)，與x軸分別交于點(diǎn)D、E

當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到D、E之間時(shí)，P到△ABC的距離等于PA的長(zhǎng)度

△ADF中，∠ADF=45° DF=AF=1，故點(diǎn)D橫坐標(biāo)為1

∵△AFE~△CMA

∴

∴FE=，故點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為

∴當(dāng)時(shí)，P到△ABC的距離等于線(xiàn)段PA的長(zhǎng)度

（3）直線(xiàn)AC的方程為

∵，P點(diǎn)只能在E點(diǎn)右側(cè)，

作PG⊥AC，作GH⊥x軸

△AFE~△GHP

故GH=2，又直線(xiàn)AC的方程為

當(dāng)y=2時(shí)， 得x=4，

∴G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，且HP=2FE=1

故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為5

當(dāng)t>5時(shí)，點(diǎn)P到△ABC的距離大于