Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣ x2（a∈R）．
（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣x有兩個相異極值點x1、x2 ， 求證： + ＞2ae．

Answer 1

【答案】
（1）解：x＞0，恒有f（x）≤x成立，

∴xlnx﹣ x2≤x恒成立，∴ ≥ ，

設g（x）= ，∴g′（x）= ，

當g′（x）＞0時，即0＜x＜e2，函數(shù)g（x）單調遞增，

當g′（x）＜0時，即x＞e2，函數(shù)g（x）單調遞減，

∴g（x）max=g（e2）= ，

∴ ≥ ，∴a≥ ，

∴實數(shù)a的取值范圍為[ ，+∞）

（2）解：g′（x）=f（x）′﹣1=lnx﹣ax，函數(shù)g（x）=f（x）﹣x有兩個極值點x1、x2，

即g′（x）=lnx﹣ax=0有兩個不同的實根，

當a≤0時，g′（x）單調遞增，g′（x）=0不可能有兩個不同的實根；

當a＞0時，設h（x）=lnx﹣ax，

∴h′（x）= ，

若0＜x＜ 時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，

若x＞ 時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，

∴h（ ）=﹣lna﹣1＞0，

∴0＜a＜ ．

不妨設x2＞x1＞0，

∵g′（x1）=g′（x2）=0，

∴l(xiāng)nx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），

先證 + ＞2，即證 ＜ ，

即證ln ＜ = （ ﹣ ）

令 =t，即證lnt＜ （t﹣ ）

設φ（t）=lnt﹣ （t﹣ ），則φ′（t）=﹣ ＜0，

函數(shù)φ（t）在（1，+∞）上單調遞減，

∴φ（t）＜φ（1）=0，

∴ + ＞2，

又∵0＜a＜ ，∴ae＜1，

∴ + ＞2ae

【解析】（1）分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值即可，（2）函數(shù)g（x）=f（x）﹣x有兩個極值點x1、x2 ， 即導函數(shù)g′（x）有兩個不同的實數(shù)根x1、x2 ， 對a進行分類討論，令 =t，構造函數(shù)φ（t），利用函數(shù)φ（t）的單調性證明不等式．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．