Question

【題目】已知拋物線頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，與y軸交于點(diǎn)B，OB＝1，△OAB為等腰直角三角形

（1）求拋物線的解析式

（2）若點(diǎn)C在拋物線上，若△ABC為直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)

（3）已知直線DE過(guò)點(diǎn)（－1，－4），交拋物線于點(diǎn)D、E，過(guò)D作DF∥x軸，交拋物線于點(diǎn)F，求證：直線EF經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析，定點(diǎn)

【解析】

（1）根據(jù)題意可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，用頂點(diǎn)式求解拋物線解析式即可；

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y)，利用勾股定理的逆定理分三種情況討論即可；

（3）設(shè)的解析式為，聯(lián)立直線DE與拋物線解析式得出，從而得出，繼而得出，再設(shè)的解析式為，通過(guò)聯(lián)立得出，進(jìn)一步得出，聯(lián)立①②③④得，所以，過(guò)定點(diǎn)

解：（1）根據(jù)題意可得出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0)，

∴拋物線的解析式為：；

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y)，，A(-1,0)，B(0,1)，

當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，，

∴，

整理得：，

∵，

∴，

解得：（舍去），

∴，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

同理，當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，，

∴，

整理得：，

∵，

∴，

解得：（舍去），

∴，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，不存在符合條件的點(diǎn)C；

（3）設(shè)的解析式為，聯(lián)立，

得，，

∴，

∵、F關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴，

設(shè)的解析式為，

聯(lián)立，

得，，

∴，

聯(lián)立①②③④得，

∴，過(guò)定點(diǎn)．