Question

【題目】（1）操作與探究：如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上，折痕的一端G點(diǎn)在邊BC上，BG=10．

①第一次折疊：當(dāng)折痕的另一端點(diǎn)F在AB邊上時(shí)，如圖1，求折痕GF的長(zhǎng)；

②第二次折疊：當(dāng)折痕的另一端點(diǎn)F在AD邊上時(shí)，如圖2，證明四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長(zhǎng)．

（2）拓展延伸：通過(guò)操作探究發(fā)現(xiàn)在矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=13．如圖3所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ．當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P，Q也隨之移動(dòng)．若限定點(diǎn)P，Q分別在AB，AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A′在BC邊上可移動(dòng)的最大距離是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①GF=5；②4；（2）4.

【解析】

（1）①首先利用翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AF和EF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；
②首先證明四邊形BGEF是平行四邊形，再利用BG=EG，得出四邊形BGEF是菱形，再利用菱形性質(zhì)求出FG的長(zhǎng)；
（2）分別利用當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，以及當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合時(shí)，求出A′B的極值進(jìn)而得出答案．

（1）①解：如圖①過(guò)G作GH⊥AD，

在Rt△GHE中，GE=BG=10，GH=8，
所以，EH==6，AE=10-6=4，
設(shè)AF=x，則EF=BF=8-x，
則AF2+AE2=EF2，
∴x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
∴AF=3，BF=EF=5，
在Rt△BFG中，根據(jù)勾股定理得FG=.

②證明：如圖②，過(guò)F作FK⊥BG于K，

∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BH∥EG，
∴四邊形BGEF是平行四邊形；
由對(duì)稱性知，BG=EG，
∴四邊形BGEF是菱形．

BG=BF=10,AB=8,AF=6,

∴KG=4,FG=；

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱性可得BA′=AB=5，
如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱性可得

A′D=AD=13，
在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2，
即132=（13-A′B）2+52，
解得：A′B=1，
所以點(diǎn)A'在BC上可移動(dòng)的最大距離為5-1=4．