Question

【題目】如圖，是等腰直角三角形，，點分別是邊與的中點，是上一點，以為一直角邊作等腰直角，且，若，則_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

取AB中點D，連接FD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，由△ABC為等腰直角三角形得到AC=BC=，∠A=45°，再根據(jù)點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，則AD=BD=4，DP=3，EF為△ABC的中位線，于是可判斷△ADF為等腰直角三角形，得到∠FDA=45°，利用三角形中位線的性質(zhì)得EF∥AB，EF=AB=4，根據(jù)平行線性質(zhì)得∠EFP+∠DFP=45°；又由于△PQF為等腰直角三角形，則∠EFP+∠EFQ=45°，所以∠DFP=∠EFQ，然后根據(jù)有兩組對應邊成比例且夾角相等的三角形相似，得出△FDP∽△FEQ，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可求得．

解：取AB中點D，連結(jié)FD，D是AB的中點，

如圖， ∵△ABC為等腰直角三角形，AB=8，PB=1， ∴AC=BC= ∠A=45°，

∵點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，AB=8，PB=1，

∴AD=BD=4，DP=DB-PB=4-1=3，EF、DF為△ABC的中位線，

∴EF∥AB，EF=AB=4，DF=BC=，∠EFP=∠FPD，

∴∠FDA=45°，

∴∠DFP+∠DPF=45°，

∵△PQF為等腰直角三角形，

∴∠PFE+∠EFQ=45°，

∴∠DFP=∠EFQ，

∵△PFQ是等腰直角三角形，

∴ ∴

∴△FDP∽△FEQ，

∴

故答案為：