Question

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,己知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為

（1）若,求點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）若為等腰直角三角形,且,求點(diǎn)的坐標(biāo);

（3）弦經(jīng)過(guò)點(diǎn),過(guò)弦上一點(diǎn)作直線的垂線,垂足為點(diǎn),求證:“直線與拋物線相切”的一個(gè)充要條件是“為弦的中點(diǎn)”.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）因?yàn)辄c(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),且,設(shè),

則 即可求得答案;

（2）設(shè),由,,可得:,,因?yàn)?,可得,結(jié)合已知,即可求得答案;

（3）因?yàn)?/span>過(guò)點(diǎn),設(shè)為:,點(diǎn),點(diǎn),其中點(diǎn),可得:,聯(lián)立直線與拋物線得,結(jié)合已知條件,根據(jù)充要條件定義,即可求得答案.

（1）點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),且

設(shè),

則

解得:,即.

（2）設(shè),由,

可得:,

①

又等腰,得點(diǎn)在軸投影為、中點(diǎn),即:.

將,代入①得:,(舍去)

點(diǎn)坐標(biāo)為.

（3）過(guò)點(diǎn)

設(shè)為:,點(diǎn),點(diǎn),其中點(diǎn),

可得:

聯(lián)立直線與拋物線得,消掉

可得:

根據(jù)韋達(dá)定理可得:

設(shè)點(diǎn)處拋物線得切線為

聯(lián)立直線與拋物線得:,消掉

可得:

,可得:

過(guò)處切線方程為

化簡(jiǎn)得

求切線與直線得交點(diǎn)

可得

軸,

與相切時(shí),為中點(diǎn)

以上各步驟,均可逆

“直線與拋物線相切”的一個(gè)充要條件是“為弦的中點(diǎn)”.