Question

【題目】已知函數(shù)，，且與的圖象有一個(gè)斜率為1的公切線(xiàn)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求；

（2）設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由與的圖象有一個(gè)斜率為1的公切線(xiàn)，分別對(duì)與求導(dǎo)并求出切線(xiàn)方程，列出等量關(guān)系可得；

（2）利用換元將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，分類(lèi)討論對(duì)其單調(diào)性，對(duì)圖像特點(diǎn)進(jìn)行分析，分情況討論出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）可得.

在處的切線(xiàn)方程為，

即.

.

在處的切線(xiàn)方程為，

故

可得.

（2）由（1）可得，

，

令，則，

，

時(shí)，有兩根，

且，

，

得：，

在上，，

在上，，

此時(shí)，.

又時(shí)，時(shí)，.

故在和上，

各有1個(gè)零點(diǎn).

時(shí)，

最小值為，故僅有1個(gè)零點(diǎn).

時(shí)，.

其中，同，

在與上，

各有1個(gè)零點(diǎn)，

時(shí)，，僅在有1個(gè)零點(diǎn)，

時(shí)，對(duì)方程.

方程有兩個(gè)正根，.

在上，，在上，，在，.

由，可得，

故.

，

故.

故在上，，

在上，，

在上，有1個(gè)零點(diǎn)：.

時(shí)，恒成立，

為增函數(shù)，僅有1個(gè)零點(diǎn)：.

綜上，或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，

或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).