Question

【題目】如圖，在四棱錐中，⊥平面，底面為梯形，， ，，，為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】【試題分析】(I)取的中點(diǎn),連接通過證明四邊形為平行四邊形,由此證得,進(jìn)而證明平面.(II)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,通過計(jì)算平面的法向量與直線的方向向量來計(jì)算線面角的正弦值.

【試題解析】

（Ⅰ）證明：設(shè)F為PD的中點(diǎn)，連接EF，FA．

因?yàn)?/span>EF為的中位線，所以EF∥CD，且EF=．

又AB∥CD，AB=2，所以ABEF，故四邊形ABEF為平行四邊形，所以BE∥AF．

又 AF平面PAD，BE平面PAD，所以BE∥平面PAD

（Ⅱ）解：設(shè)G為AB的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>AD=AB，，所以為等邊三角形，故DG⊥AB ；因?yàn)?/span>AB∥CD，所以DG⊥DC；又PD平面ABCD，所以PD，DG，CD兩兩垂直

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，， ，，

設(shè)為平面DBE的一個(gè)法向量，則 ，即 ，

令，則

又 ，所以，

即直線PB與平面BDE所成角的正弦值為