Question

【題目】在三棱錐P﹣ABC中，AB＝1，BC＝2，AC，PC，PA，PB，E是線段BC的中點．

（1）求點C到平面APE的距離d；

（2）求二面角P﹣EA﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量的距離公式得解；（2）求出兩個平面的法向量，利用向量公式求解．

∵AB2+BC2＝AC2，PC2+BC2＝PB2，PA2+AB2＝PB2，

∴，

過點P作PO⊥平面ABC，垂足為O，易得OP＝1，且BC⊥OC，BA⊥OA，

∴四邊形ABCO為矩形，

（1）以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則C（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），P（0，0，1），

，

設平面APE的法向量為，則，

令x＝1，則，

∴；

（2）由（1）知平面APE的法向量為，取平面ABE的一個法向量，

且二面角P﹣EA﹣B為鈍角，設其為θ，故．