Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0， ），離心率為 ，左右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=﹣ x+m與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的圓交于C、D兩點(diǎn)，且滿足 = ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得 ，
解得 ，c=1，a=2．
∴橢圓的方程為 ．
（Ⅱ）由題意可得以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1．
∴圓心到直線l的距離d= ，
由d＜1，可得 ．（*）
∴|CD|=2 = = ．
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
聯(lián)立 ，
化為x2﹣mx+m2﹣3=0，
可得x1+x2=m， ．
∴|AB|= = ．
由 = ，得 ，
解得 滿足（*）．
因此直線l的方程為
【解析】（Ⅰ）由題意可得 ，解出即可．（Ⅱ）由題意可得以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心到直線l的距離d及d＜1，可得m的取值范圍．利用弦長(zhǎng)公式可得|CD|=2 ．設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到弦長(zhǎng)|AB|= ．由 = ，即可解得m．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：)．