Question

【題目】已知橢圓：的離心率，左、右焦點分別是、，且橢圓上一動點到的最遠距離為，過的直線與橢圓交于，兩點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當以為直角時，求直線的方程；

（3）直線的斜率存在且不為0時，試問軸上是否存在一點使得，若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線的方程為或（3）存在，

【解析】

（1）由橢圓的離心率，且橢圓上一動點到的最遠距離為，列出方程組，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；

（2）設直線：，則：，聯立方程組，求得的值，即可求得直線的方程；

（3）設：，聯立方程組，根據根與系數的關系，求得，，再由斜率公式和以，即可求解點的坐標，得到答案.

（1）由題意，橢圓的離心率，且橢圓上一動點到的最遠距離為，

可得，解得，所以橢圓的標準方程為.

（2）由題意可知，當不存在時，不符合題意.

設直線：，則：，

∴，得，∴

∴，，∴，

直線的方程為或.

（3）設，，，：，

∴，

∴，，

∵，，所以，

∴，∴，

∴，，∴.