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【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，.

（1）求證：平面PAD；

（2）求PD與平面PCE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）設中點為，連結,推導出四邊形是平行四邊形，從而四邊形是平行四邊形，進而，由此能證明平面.

（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出與平面所成角的正弦值.

（1）設PA中點為G，連結EG，DG.

因為，且，，

所以且，

所以四邊形為平行四邊形.

所以，且.

因為正方形，所以，，

所以，且.

所以四邊形為平行四邊形.

所以.

因為平面，平面，

所以平面.

（2）如圖建立空間坐標系，則，，，，，

所以，

設平面PCE的一個法向量為，

所以.

令，則，所以.

設PD與平面PCE所成角為，

則.

所以PD與平面PCE所成角的正弦值是.

練習冊系列答案
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（1）當時，求的最大值和最小值；

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（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）判斷線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，求 出的值，若不存在，說明理由．

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