Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）若時(shí)，求證：當(dāng)時(shí)，；

（2）若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，只需證明在上的最小值大于0即可；

（2）函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，即其導(dǎo)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，令，則函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求得此時(shí)a的范圍，再數(shù)形結(jié)合即可得到答案.

（1）當(dāng)時(shí)，有，

令，即，

則

令，則，當(dāng)時(shí)，，

所以在區(qū)間上是增函數(shù)，，

所以，在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以，故.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)有4個(gè)零點(diǎn)，所以有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，即其導(dǎo)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，顯然是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，

令，則函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，故.

由于，令，得，

故，故.

又，，只需證明，

令，，則，

所以在上單調(diào)遞增，，所以，即，

所以存在，使得，所以有3個(gè)零點(diǎn)，1，.

x				1
		0		0		0
	遞減	極小	遞增	極大	遞減	極小	遞增

所以要有4個(gè)零點(diǎn)，只需，即，

因?yàn)榇藭r(shí)，，

，

設(shè)（），，所以在上

，

所以，即，又

，

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn).