Question

【題目】已知實數(shù)，函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若是函數(shù)的極值點，曲線在點，處的切線分別為，且在軸上的截距分別為．若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）．

【解析】

（1）求導(dǎo)后得；分別在和兩種情況下，根據(jù)的符號可確定的單調(diào)性；

（2）由極值點定義可構(gòu)造方程求得，得到和；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得在處的切線方程，進而求得；由可求得的關(guān)系，同時確定的取值范圍；將化為，令，，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，進而求得的值域即為的范圍.

（1）.

，，.

①當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞減；

②當(dāng)，即時，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）是的極值點，，即，

解得：或（舍），此時，.

方程為：，

令，得：；同理可得：.

，，整理得：，，

又，則，解得：，

.

令，則，

設(shè)，，

在上單調(diào)遞增，又，，，

即的取值范圍為.