【題目】設(shè)A、B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點,且,(其中O為坐標(biāo)原點).
(1)求證:直線必與x軸交于一定點Q,并求出此定點Q的坐標(biāo);
(2)過點Q作直線的垂線與拋物線交于C、D兩點,求四邊形面積的最小值.
【答案】(1)證明見解析,;(2)88.
【解析】
(1)設(shè)直線的方程為,,聯(lián)立消得,,由韋達(dá)定理得,,根據(jù),得,由此解方程即可得到本題答案;
(2)由弦長公式,得,,所以四邊形的面積,通過換元法,利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得本題答案.
(1)證明:易知直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為, ,,
由消得, ,
則,且 ,
由,得,
解得,或(舍去),
所以,可得,即直線的方程為,
所以直線恒過定點 ;
(2)由(1)得, ,
同理, ,
因為,所以四邊形的面積
,
令(,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立),
則,易知函數(shù)在上是增函數(shù),所以當(dāng)時,取得最小值88,故四邊形面積的最小值為88.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,cosB=.
(Ⅰ)若c=2a,求的值;
(Ⅱ)若C-B=,求sinA的值.
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【題目】某公司為了鼓勵運動提高所有用戶的身體素質(zhì),特推出一款運動計步數(shù)的軟件,所有用戶都可以通過每天累計的步數(shù)瓜分紅包,大大增加了用戶走步的積極性,所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”,統(tǒng)計了2019年1月份所有用戶的日平均步數(shù),規(guī)定日平均步數(shù)不少于8000的為“運動達(dá)人”,步數(shù)在8000以下的為“非運動達(dá)人”,采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個用戶,得到如下列聯(lián)表:
運動達(dá)人 | 非運動達(dá)人 | 總計 | |
男 | 35 | 60 | |
女 | 26 | ||
總計 | 100 |
(1)(i)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(ii)據(jù)此列聯(lián)表判斷,能否有的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”?
(2)從樣本中的運動達(dá)人中抽取7人參加“幸運抽獎”活動,通過抽獎共產(chǎn)生2位幸運用戶,求這2位幸運用戶恰好男用戶和女用戶各一位的概率.
附:
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為常數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)當(dāng)直線與曲線相切時,求出常數(shù)的值;
(2)當(dāng)為曲線上的點,求出的最大值.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,
(Ⅰ)證明;AC⊥BP;
(Ⅱ)求直線AD與平面APC所成角的正弦值.
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【題目】[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)設(shè)是曲線上的一個動瞇,當(dāng)時,求點到直線的距離的最小值;
(2)若曲線上所有的點都在直線的右下方,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成面積為的等腰直角三角形.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線與橢圓交于點A、B,線段的中點為M,射線MO與橢圓交于點P,點O為的重心,試問:的面積S是否為定值,若是,求出這個值;若不是,求S的取值范圍.
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【題目】微信是現(xiàn)代生活中進(jìn)行信息交流的重要工具.據(jù)統(tǒng)計,某公司200名員工中90%的人使用微信,其中每天使用微信時間在一小時以內(nèi)的有60人,其余的員工每天使用微信時間在一小時以上,若將員工分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個階段,那么使用微信的人中75%是青年人.若規(guī)定:每天使用微信時間在一小時以上為經(jīng)常使用微信,那么經(jīng)常使用微信的員工中都是青年人.
(1)若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系,列出并完成2×2列聯(lián)表:
(2)由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)判斷,是否有99.9%的把握認(rèn)為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”?
(3)采用分層抽樣的方法從“經(jīng)常使用微信”的人中抽取6人,從這6人中任選2人,求選出的2人,均是青年人的概率.
附:
.
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【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式區(qū)間上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)求證:
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