Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若曲線在點處的切線l過點，求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線點斜式方程、點在直線上進(jìn)行求解即可；

（2）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分類討論求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點的定義、零點存在原理，通過構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

解：（1）由，有，，

切線的方程為，代入點有，解得，故實數(shù)的值為－1.

（2）函數(shù)的定義域為，由，

.

①當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，最多只有一個零點；

②當(dāng)時，令，由可知函數(shù)單調(diào)遞增，又由，，可得存在，使得，有，可知函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.

若函數(shù)有兩個零點，必有

，得，

又由，

令，有，令可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，

當(dāng)時，即時，，可得此時函數(shù)有兩個零點.

由上知，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為.