【題目】如圖在直三棱柱中,
,
為
中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面
.
(Ⅱ)若,且
,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)
【解析】試題分析:
(I)連結(jié),由題意可證得
,從而得
為
中點(diǎn),所以
,又由題意得得
,所以得
。(也可通過(guò)面面垂直證線面垂直)(II)由題意可得
兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面
和平面
的法向量分別為
,
,由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值。
試題解析:
(I)證明:連結(jié),
∵ 平面平面
,
平面
,
∴ ,
∵為
中點(diǎn),
∴為
中點(diǎn),
∵,
∴①,
法一:由平面
,
平面
,
得,②,
由①②及,
所以平面
.
法二:由平面
,
平面
,
∴ 平面平面
,
又平面平面
,
所以平面
.
(II)解:由,得
,
由(I)知,又
,得
,
∵,
∴,
∴兩兩垂直,以
為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
,
則,
,
,
得,
,
設(shè)是平面
的一個(gè)法向量,
由,得
,
令,得
,
設(shè)為平面
的一個(gè)法向量,
由,得
.
令,得
,
∴
根據(jù)題意知二面角為銳二面角,
所以二面角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與圓O:
且與橢圓C:
相交于A,B兩點(diǎn)
(1)若直線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn),求弦長(zhǎng)AB;
(2)設(shè)直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,判斷k1·k2是否為定值,并說(shuō)明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且對(duì)任意正整數(shù)
,滿足
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,是否存在正整數(shù)
,使
? 若存在,求出符合條件的所有
的值構(gòu)成的集合
;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓點(diǎn)
,
是圓上任意一點(diǎn),線段
的垂直平分線
和半徑
相交于點(diǎn)
。
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)
的軌跡方程;
(Ⅱ)直線與點(diǎn)
的軌跡交于不同兩點(diǎn)
和
,且
(其中 O 為坐標(biāo)
原點(diǎn)),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)棱
底面
,
為棱
中點(diǎn).
,
,
.
(I)求證: 平面
.
(II)求證: 平面
.
(III)在棱的上是否存在點(diǎn)
,使得平面
平面
?如果存在,求此時(shí)
的值;如果不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n2,{bn}為等比數(shù)列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)求過(guò)點(diǎn),斜率是直線
的斜率的
的直線方程;
(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn),且在
軸上的截距等于在
軸上截距的2倍的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,其中
為常數(shù).
(1)證明: ;
(2)是否存在,使得
為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某種水箱用的“浮球”,是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成的.已知半球的直徑是6 cm,圓柱筒高為2 cm.
(1)這種“浮球”的體積是多少cm3(結(jié)果精確到0.1)?
(2)要在2 500個(gè)這樣的“浮球”表面涂一層膠,如果每平方米需要涂膠100克,那么共需膠多少克?
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