Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，滿足.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若，數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使? 若存在，求出符合條件的所有的值構(gòu)成的集合；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）由和項與通項關(guān)系可得項之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列定義可得數(shù)列的通項公式；（2）由錯位相減法可得，再化簡不等式得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)圖像可得的值

試題解析：（1），

時， ，

所以，

所以是以首項，公比的等比數(shù)列，

所以數(shù)列的通項公式為.

（2）由（1）知， ，

記數(shù)列的前項和為，則

，①

，②

②-①得，

，

所以，數(shù)列的前項和為.

要使，即，

所以.

當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，結(jié)合函數(shù)與的圖象可知，當(dāng)時都有，

所以 .