【題目】已知圓，點，點在圓上運動，的垂直平分線交于點．

（1）求證：為定值及動點的軌跡的方程；

（2）不在軸上的點為上任意一點，與關于原點對稱，直線交于另外一點．求證：直線與直線的斜率的乘積為定值，并求出該定值．

【答案】（1）見解析，（2）見解析，．

【解析】

（1）圓的圓心為，半徑為，根據中垂線有為定值，再利用橢圓的定義求解.

（2）設，，則，，再根據點，都在橢圓上，有，，代入化簡求解.

（1）證明：如圖所示：

圓的圓心為，半徑為，

為定值，且，

所以動點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，

設標準方程為，

可得，，，

故所求動點的軌跡的方程為；

（2）證明：如圖所示：

設，，則，

∵，都在橢圓上，∴，，

∴，

∴．

所以直線與直線的斜率的乘積為定值，且為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知邊長為2的正三角形ABE所在的平面與菱形ABCD所在的平面垂直，且，點F是BC上一點，且．

（1）當時，證明：；

（2）是否存在一個常數(shù)k，使得三棱錐的體積等于四棱錐的體積的，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設為等差數(shù)列的前項和，且，．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若滿足不等式的正整數(shù)恰有個，求正實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了研究一種昆蟲的產卵數(shù)和溫度是否有關，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據列于下表中，并作出了如圖的散點圖．

溫度/℃

20

22

24

26

28

30

32

產卵數(shù)/個

6

10

22

26

64

118

310

26

79．4

3．58

112

11．6

2340

35．72

其中．

（1）根據散點圖判斷，與哪一個更適宜作為該昆蟲的產卵數(shù)與溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）．

（2）根據表中數(shù)據，建立關于的回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）

（3）根據關于的回歸方程，估計溫度為33℃時的產卵數(shù)．

（參考數(shù)據：）

附：對于一組數(shù)據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若在內單調遞減，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點分別為，，證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）若函數(shù)的圖象均在軸上方，求的取值范圍；

（2）記為函數(shù)在上的零點，若存在唯一的，使得，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中， 平面， ， ， 分別為， 的中點.

（1）求證： 平面；

（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）試問線段上是否存在點，使與面所成角的正弦值為？若存在，求出此時的長，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)的兩個極值點分別為，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______．

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